行列式是线性代数中的一个基本概念，它在矩阵理论、线性方程组的解法、特征值问题等领域有着广泛的应用。本题集主要围绕行列式的计算、性质及其应用进行训练，涵盖填空题、选择题和计算题等多种题型。
1. **逆序数**：逆序数用于衡量一个排列的逆序对数量，是计算行列式的一个关键概念。例如，排列1 3 …2 4 …的逆序数计算涉及找到较小数字在较大数字之前的对数。填空题中提到的排列1 3 …2 4 …的逆序数为n-1（n为偶数时），而1 3 ……2的逆序数为(n-1)/2，因为每个偶数位置的数字都会形成一个逆序对。
2. **行列式的符号**：在6阶行列式中，某一项的符号取决于这一行元素与标准顺序的相对位置。根据拉普拉斯展开或者柯西-施瓦茨公式，可以确定每一项的符号是由其对应的排列的逆序数决定的，奇数个交换会产生一个负号，偶数个交换则保持正号。
3. **奇排列**：奇排列指的是排列中包含奇数个逆序对的排列。所有n元排列中，奇排列和偶排列的个数相等，都是n! / 2。
4. **行列式计算**：选择题涉及到计算行列式，通常使用Sarrus规则或对角线法则。例如，选择题1中计算行列式，需要根据定义进行计算，可能的结果是(A)、(B)、(C)或(D)之一。
5. **行列式展开**：n阶行列式的展开可以按照不同的方式进行，如按行或按列展开，或者使用代数余子式。题目要求写出不同标准下的行列式定义式，这是为了理解行列式的各种表示形式。
6. **行列式性质**：如果n阶行列式中等于零的元素个数大于n，那么根据行列式的性质，至少有一行（列）可以表示为其他行（列）的线性组合，这意味着行列式可以化简为一个主对角线元素全为0的行列式，从而其值为0。
7. **克莱姆法那么**：克莱姆法那么是求解线性方程组的一种方法，它表明当方程的系数行列式不为0时，方程组有唯一解。填空题中提到，当系数行列式不为0时，线性方程组有唯一解，并给出了解的表达式。
8. **齐次线性方程组**：齐次线性方程组的所有常数项均为0。如果其系数行列式为0，方程组有非零解；若不为0，则方程组只有零解。填空题中涉及的齐次线性方程组的解情况与系数行列式有关。
9. **计算题**：这部分包括具体的行列式计算，如2×2行列式、3×3行列式以及更高阶的行列式。解这类题目通常需要熟悉行列式的展开规则，例如，通过拉普拉斯展开或使用代数余子式的方法。
10. **证明题**：证明题通常要求证明某个关于行列式的性质或定理，比如行列式的乘法规则、行列式的线性性质等。证明题需要严谨的逻辑推理和代数运算。
这个练习题集旨在巩固和深化学生对行列式的理解和计算技巧，涵盖从基础概念到高级应用的多个层面，对于学习线性代数的学生来说是非常有益的练习资源。
VIP享7折，此内容立减5.97元 
