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离散数学期末考试复习预测题（内附详细解析）.doc

离散数学

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2006 年 12 月离散数学复习提纲 1

离散数学复习提纲

第一章命题逻辑

1．（P Q）（ Q R）的主合取范式和主析取范式。

2．试求下列公式的主析取范式：

（1）；（ 2）

（an:

）

3．用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？

（1）（ PP）Q

（2）（PQ）Q

（3）（（ PQ）（QR）） （PR）

(an: 解：

（1）真值表

P Q

P PP （PP）Q

0 0 1 0 1

0 1 1 0 0

1 0 0 0 1

1 1 0 0 0

因此公式（1）为可满足。

)

（2）真值表

P Q

PQ （PQ） （PQ）Q

0 0 1 0 0

0 1 1 0 0

1 0 0 1 0

1 1 1 0 0

因此公式（2）为恒假。

（3）真值表

P Q R

PQ QR PR （（ PQ）（QR）） （PR）

0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 1 1

0 1 1 1 1 1 1

2006 年 12 月离散数学复习提纲 2

1 0 0 0 1 0 1

1 0 1 0 1 1 1

1 1 0 1 0 0 1

1 1 1 1 1 1 1

因此公式（3）为恒真。

4．┐Q（P→Q）蕴涵 ┐P

法 1：真值表

法 2：若┐Q（P→Q）为真，则 ┐Q，P→Q 为真，

所以 Q 为假，P 为假，所以┐P 为真。

法 3：若┐P 为假，则 P 为真，再分二种情况：

① 若 Q 为真，则┐QÙ（P→Q）为假

② 若 Q 为假，则 P→Q 为假，则┐Q（P→Q）为假

根据① ②，所以 ┐Q（P→Q）蕴涵 ┐P。）

5．利用基本等价式证明下列命题公式为恒真公式。

（（ PQ）（QR）） （PR）

（（ PQ）（P（QR））） （PQ）（PR）

（an: 1、证明：

（（ PQ）（Q R）） （PR）

=（（ PQ）（QR）） （PR）

=（（ PQ）（QR）） （PR）

=（PQ）（QR）PR

=（（ PQ）P ）（（ QR）R）

=（1（QP ）） （（ QR）1）

= QPQR

=（QQ） P R

= 1 P R

= 1

（（ PQ）（P（QR））） （PQ）（PR）

=（（ PQ）（P（Q R））） （P（QR））

=（P（Q QR）） （P（QR））

=（P（QR）） （P（QR））

=1）

6．用形式演绎法证明：{ }蕴涵

(an: 证明：

（1）规则 P

（2）规则 Q （1）

（3）规则 P

（4）规则 Q（3）

（5）规则 Q（2）（ 4）

（6）RS 规则 P

2006 年 12 月离散数学复习提纲 3

（7）PS 规则 Q（5）（ 6） )

7．用形式演绎法证明：（蕴涵 A

（an: 、证明：(改( )

（1）

规则 D

（2）

∨

规则 Q（1）

（3）规则 P

（4）规则 Q（2）（ 3）

（5）

规则 Q（4）

（6）规则 Q（5）

（7）规则 P

（8）

规则 Q（6）（ 7）

（9）规则 Q（1）（ 8））

8．┐（P∧┐Q），┐ Q∨R，┐R 蕴涵 ┐P

（an: （1）┐Q∨R

（2）┐R

（3）┐Q

（4）┐（P∧┐Q）

（5）┐P∨Q

（6）┐P）

9．某案涉及甲、乙、丙、丁四个，根据已有线索，已知：

（1）若甲、乙均未作案，则丙、丁也均未作案；

（2）若丙、丁均未作案，则甲、乙也均未作案；

（3）若甲与乙同时作案，则丙与丁有一人且只有一人作案；

（4）若乙与丙同时作案，则甲与丁同时作案或同未作案。

办案人员由此得出结论：甲是作案者。这个结论是否正确？为什么？

（an: 解：对问题中的四个简单命题用 P1，P2，P3，P4 分别表示甲，乙，丙，丁作案，

则办案人员的推理如下：

前提：

1) P1P2P3P4

2) P3P4P1P2

3) P1P2(P3P4)(P3P4)

4) P3P4(P1P2)(P1P2)

结论：P1。

(P1P2P3P4)  (P3P4P1P2)  ( P1P2(P3P4)(P3P4)) 

( P3P4(P1P2)(P1P2))  P1

不是永真式，比如：

P1 取假，P2 取真，P3 取假，P4 取真时，上式为假

所以 P1 不是前提的有效结论，

所以甲是作案者的结论是错误的)

课后习题：

2006 年 12 月离散数学复习提纲 4

p8：1，5

p19：7

p23：6，7，8

p39：4

p47：4，5

第二章谓词逻辑

1．设个体域 D={1，2，5}，F（x）： x≤2，G（x,y）： x≥y, 消去

（ x）(F(x) （ y）G(y,x)) 中的量词，并讨论其真值。

2．所有的主持人都很有风度。李明是个学生并且是个节目主持人。因此有些学生是很有风

度。请用谓词逻辑中的推理理论证明上述推理。（个体域：所有人的集合）

3．设数，小于，将“不存在最小的数。”符号化。

（an: ）

4．利用一阶逻辑的基本等价式，证明：

（x）（ y）（ F（x）G（y）） =（x）F（x）（y）G（y）

(an: xy（F（x）G（y）） =x（F（x）y G（y））

= x（F（x）y G（y））

= x（F（x）） y G（y）

= xF（x）y G（y）

= xF（x）yG（y）)

5．（x）（ F(x) →┐A(x)），（ x）（ A(x)∨B(x)，（ x） ┐B(x)蕴涵（x）

┐F(x)

（an: （1）x ┐B(x)

（2）┐B(c)

（3）x（A(x)∨B(x)）

（4）A(c)∨B(c)

（5）A(c)

（6）x（F(x) →┐A(x)）

（7）F(c) →┐A(c)

（8）┐F(c)

（9）x ┐F(x)）

6．符号化下列命题并推证其结论：

没有不守信用的人是可以信赖的，有些可以信赖的人是受过教育的人，因此，有些受

过教育的人是可守信用的。（个体域：所有人的集合）

（an:

令 M(x)：x 是守信用的；J(x)：x 是受过教育的；D(x)：x 是可以信赖的

前提：┐x（┐M(x)∧D(x)），（ x D(x) ∧J(x)）有效结论：x（J(x) ∧ M(x)）

证明： 1）（ x D(x)∧J(x)）前提

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