根据提供的文档信息，本文将详细解释Matlab中线性回归拟合的相关知识点，包括多元线性回归模型的基本概念、参数估计方法以及Matlab中的实现方式，并简要介绍非线性拟合的应用。
### 一、多元线性回归模型
#### 1. 模型概述
在多元线性回归模型中，我们考虑的是一个或多个自变量\(x\)与一个因变量\(y\)之间的线性关系。具体来说，给定一组自变量\(\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_p)\)，模型可以表示为：
\[ y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{i1} + \beta_2 x_{i2} + \cdots + \beta_p x_{ip} + \epsilon_i \]
其中，\(y_i\)是第\(i\)个样本的因变量值，\(\beta_0\)是截距项，\(\beta_j\)（\(j = 1, 2, \ldots, p\)）是各自变量对应的系数，\(\epsilon_i\)是随机误差项。
#### 2. 参数估计
参数\(\beta\)的估计通常采用最小二乘法来获得。给定一组观测值\((\mathbf{x}_i, y_i)\)（\(i = 1, 2, \ldots, n\)），最小二乘估计的目的是寻找一组参数\(\hat{\beta}\)，使得所有观测值的预测误差平方和最小。具体地，最小二乘估计可以表示为：
\[ \hat{\beta} = (\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}'\mathbf{y} \]
其中，\(\mathbf{X}\)是自变量矩阵，每一行为一个样本的所有自变量值；\(\mathbf{y}\)是因变量向量。
### 二、Matlab中的实现
#### 1. 多元线性回归分析
Matlab提供了内置函数`regress`用于进行多元线性回归分析。其基本调用格式如下：
- `b = regress(y, X)`：返回参数\(\beta\)的估计值\(b\)。
- `[b, bint, r, rint, stats] = regress(y, X)`：除了返回参数估计值外，还提供置信区间等更多信息。
- `[b, bint, r, rint, stats] = regress(y, X, alpha)`：设置不同的显著性水平\(\alpha\)。
#### 2. 函数解释
- `b`: 参数估计值向量。
- `bint`: 参数估计值的置信区间。
- `r`: 残差向量。
- `rint`: 残差的置信区间。
- `stats`: 统计量，包括\(R^2\)、\(F\)统计量及其对应的p值等。
例如，若`bint`的第\(i\)行不含0，则可以认为在给定的显著性水平下，自变量\(x_i\)与因变量之间存在显著的线性关系。
#### 3. 非线性拟合
对于非线性模型，Matlab提供了`nlinfit`函数用于估计参数。其调用格式如下：
- `beta = nlinfit(X, y, 'model', beta0)`：其中`model`是事先定义好的非线性函数，`beta0`是初始参数估计值。
此外，还可以使用`lsqcurvefit`函数来进行曲线拟合，该函数可以应用于线性和非线性模型。
### 三、示例解析
#### 示例1：多元非线性回归
假设已知\(y\)与自变量\(*_1, *_2, *_3\)之间存在如下非线性关系：
\[ y = a + b*_2 + c*_3 + d(*_2^2) + e(*_3^2) \]
可以按照以下步骤进行非线性回归分析：
1. 定义M文件`model.m`来实现上述非线性模型。
2. 使用`nlinfit`函数估计模型参数。
#### 示例2：混凝土抗压强度分析
题目描述了一组关于混凝土抗压强度随养护时间变化的数据。可以通过构建非线性回归模型来分析这一问题。
1. **数据准备**：整理养护时间和抗压强度的数据。
2. **模型构建**：选择适当的非线性模型形式。
3. **参数估计**：使用`nlinfit`函数估计模型参数。
4. **模型评估**：基于估计结果对模型的有效性进行评估。
通过以上步骤，不仅可以获得参数估计值，还能对模型的适用性和预测能力进行评估，从而更好地理解和解释数据背后的关系。
