"结构动力学哈工大版课后习题集解答.doc"
本文档主要介绍结构动力学中的单自由度系统,包括固有频率的计算方法和步骤,以及阻尼比的计算方法和步骤。
1. 单自由度系统固有频率的计算方法
单自由度系统固有频率的计算方法有四种:牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。
(1)牛顿第二定律法
牛顿第二定律法适用于所有的单自由度系统的振动。解题步骤为:
〔1〕对系统进行受力分析,得到系统所受的合力;
〔2〕利用牛顿第二定律,得到系统的运动微分方程;
〔3〕求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
(2)动量距定理法
动量距定理法适用于绕定轴转动的单自由度系统的振动。解题步骤为:
〔1〕对系统进行受力分析和动量距分析;
〔2〕利用动量距定理 J,得到系统的运动微分方程;
〔3〕求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
(3)拉格朗日方程法
拉格朗日方程法适用于所有的单自由度系统的振动。解题步骤为:
〔1〕设系统的广义坐标为,写出系统对于坐标的动能 T 和势能 U 的表达式;
〔2〕进一步写出拉格朗日函数的表达式:L=T-U;
〔3〕由格朗日方程=0,得到系统的运动微分方程;
〔4〕求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
(4)能量守恒定理法
能量守恒定理法适用于所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。解题步骤为:
〔1〕对系统进行运动分析,选广义坐标,写出在该坐标下系统的动能 T 和势能 U 的表达式;
〔2〕进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const;
〔3〕将能量守恒定理 T+U=Const 对时间求导得零,得到系统的运动微分方程;
〔4〕求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
2. 单自由度系统阻尼比的计算方法
单自由度系统阻尼比的计算方法有三种:衰减法、共振法和正选弦鼓励法。
(1)衰减法
衰减法有两个方法:衰减曲线法和共振法。
方法一:衰减曲线法
〔1〕利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线,并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值、;
〔2〕由对数衰减率定义 ,进一步推导有1 / 51 ;
方法二:共振法
〔1〕通过实验,绘出系统的幅频曲线,如下列图:
单自由度系统的幅频曲线
〔2〕分析以上幅频曲线图,得到:;于是 ;进一步 ;最后 。
(2)正选弦鼓励法
正选弦鼓励法有两个方法:幅频〔相频〕曲线法和功率法。
方法一:幅频〔相频〕曲线法
〔1〕单自由度系统在正弦鼓励作用下其稳态响应为:,2 / 51 其中: ;
(1) (2)
从实验所得的幅频曲线和相频曲线图上查的相关差数,由上述〔1〕,〔2〕式求得阻尼比。
方法二:功率法
(1) 单自由度系统在作用下的振动过程中,在一个周期,弹性力作功为 、阻尼力做功为 、激振力做作功为 ;
(2) 由机械能守恒定理得,弹性力、阻尼力和激振力在一个周期所作功为零,即: ++;
于是 -进一步得:;
(3) 当时,,那么 ,得 , 。
3. 实例分析
(1)求图 1-35 中标出参数的系统的固有频率。
〔a〕此系统相当于两个弹簧串联,弹簧刚度为 k1、简支梁刚度为 ; 等效刚度为 k;那么有 ;那么固有频率为:;
〔b〕此系统相当于两个弹簧并联, 等效刚度为:;那么固有频率为:
〔c〕系统的等效刚度那么系统的固有频率为
〔d〕由动量距定理得: 〔〕=得: , 那么 。
(2)求图 1-34 中系统的固有频率。
以 为广义坐标,那么 系统的动能为系统的势能为: ;
(3)求图 1-35 所示系统的固有频率。
磙子半径为 R,质量为 M,作纯滚动。弹簧刚度为 K 。
磙子作平面运动, 其动能 T=T 平动 +T 转动。;而势能;系统机械能;由得系统运动微分方程;