### 非线性回归分析的一种有理逼近
#### 摘要
本文提出了一种新的非线性回归分析方法，该方法通过结合有理插值逼近和最小二乘法来提高模型的精度。这种方法充分利用了已知的信息，并能够在全球范围内达到最佳逼近，通过实例验证了方法的有效性。
#### 引言
非线性回归模型可以分为两类：一类是可以转化为线性回归模型的，其解决方法类似于线性回归；另一类是不能直接转化为线性模型的纯非线性回归模型。对于后者，通常使用逐次逼近（线性化）的方法，如高斯-牛顿迭代法等。最小二乘法在回归分析中占有重要地位，特别是当回归函数是线性或接近线性时。本文旨在提出一种结合最小二乘法与有理插值技术的新方法，以提高非线性回归分析的准确性和可靠性。
#### 有理逼近方法
为引入有理逼近的概念，首先介绍有理插值。假设给定\(m+n+1\)个不同的节点\(\{x_0, x_1, \ldots, x_{m+n}\}\)及相应的函数值\(\{f(x_0), f(x_1), \ldots, f(x_{m+n})\}\)，有理插值问题的目标是找到一个有理函数\(R_{m,n}(x)\)满足插值条件：
\[ R_{m,n}(x_j) = f(x_j), \quad j = 0, 1, \ldots, m+n \]
其中，\(R_{m,n}(x)\)表示为：
\[ R_{m,n}(x) = \frac{\sum_{i=0}^m a_i x^i}{1 + \sum_{i=1}^n b_i x^i} \]
#### 方法细节
在非线性回归分析中，对于不能直接使用最小二乘法求解的情况，通常采用逐次逼近的方法。本文提出的方法是通过有理插值逼近回归函数，同时利用最小二乘法来确保所有已知条件都被充分考虑，从而避免伪解的出现。
### 数学表达
为了确定\(R_{m,n}(x)\)中的未知系数，将插值条件改写为：
\[ \sum_{i=0}^m a_i x_j^i - f(x_j) \sum_{i=0}^n b_i x_j^i = f(x_j), \quad j = 0, 1, \ldots, L \]
其中，\(L\)为采样数，通常\(L > m+n\)。由于未知数个数少于采样数，因此不能直接使用传统的插值方法。本文通过最小二乘法来进行全局逼近，即最小化以下误差平方和：
\[ \min \left[ \sum_{j=0}^L \left( \sum_{i=0}^m a_i x_j^i - f(x_j) \sum_{i=0}^n b_i x_j^i - f(x_j) \right)^2 \right] \]
### 实例分析
作为示例，本文探讨了一个晶体振荡器频率与热敏网络电压之间非线性关系的问题。假设二者之间的非线性关系可以表示为：
\[ E(b_s e^{b_0 (T - T_v)} + b_1 e^{b_2 (T - T_v)}) = \min \left[ \sum_{i=0}^L (b_s e^{b_0 (T_i - T_v)} + b_1 e^{b_2 (T_i - T_v)} - y_i)^2 \right] \]
其中，\(T\)为温度，\(T_v\)为参考温度，\(y_i\)为观测值，而\(b_s, b_0, b_1, b_2\)为待求解的参数。
#### 结论
本文提出了一种结合有理插值与最小二乘法的非线性回归分析方法，该方法能够在非线性回归分析中达到全局最优逼近，避免了仅使用插值可能带来的伪解问题。通过对晶体振荡器频率与热敏网络电压之间非线性关系的实例分析，验证了该方法的有效性和准确性。此方法尤其适用于那些模型难以直接转化为线性形式的情况，对于提高非线性回归分析的精度和可靠性具有重要意义。
