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2023数模国赛优秀论文E176.pdf
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2023年,高教社杯,全国大学生数学建模竞赛,优秀论文
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1
基于小波变换和背包模型的小浪底水库最优监测方案研究
摘要
本文针对黄河小浪底水库的水沙通量变化趋势及最优监测方案进行了研究。
首先,对附件 1、附件 2、附件 3 的数据进行了整理,使用 python 软件对大量的缺失数据采用平均值
进行了填补。
针对问题(1), 首先,研究含沙量与时间的关系,得出结论:一是 2016、2017 年的含沙量较小,但从 2018
年开始大幅度增长,含沙量随着年份存在周期性波动。二是每年 2、3 季度为旺季,每年 1、4 季度为淡季。
三是建立了含沙量随时间(日)变化的正弦函数。其次,分别建立了含沙量与水位、水流量的双对数回归
方程,得出结论:水位每增加 1%,含沙量增加 36.31%;水流量每增加 1%,含沙量增加 1.06%。第三,估算
出年均水流量 324 亿 m
3
,年均总排沙量 2 亿吨。
针对问题(2),把数据整理成以“月”为时间点的时间序列,首先,描述性分析得出结论:各月水流量
分化严重,但平均波动幅度较小,排沙量则相反。其次,季节性分析得出结论:水通量和沙通量都在每年
7 月比例最大,在 1 月占比最小;水通量、沙通量每年 6 月-10 月是旺季,每年 1 月-3 月、11 月、12 月是
淡季。第三,周期性分析得出结论:水沙通量的周期为 365 天, 2018 年有突变现象。第四,使用 M-K 检
验法进行突变性分析得出结论:从 t=30 开始出现显著的上升趋势,在 t=27 时出现突变点。再使用 Fisher
最优分割法进行验证,得出的结论与 M-K 法检验法一致。第五,为了详细而准确地寻找水沙通量的周期性
和突变点,还使用小波变换分析法得出结论:水通量、沙通量均以 20 月为周期振荡,呈现了 5 次正负循
环交替,出现了 8 个突变点。
针对问题(3),首先,使用 R/S 分析法研究水沙通量是否在未来 2 年存在相同趋势、反转趋势或随机
趋势。把全时段 2016-2021 年分为 2 个阶段,第一阶段(2016-2017 年)用于检验,第二阶段(2018-2021
年)用于预测,检验结果表明:R/S 分析法具有一定的可靠性,可以用于预测,预测结果表明:水沙通量
未来变化将出现反转趋势。其次,分别针对水通量、沙通量建立了傅里叶级数,预测出未来 2 年的水沙通
量数据。第三,借用背包问题建立了 0-1 规划模型,获得了未来 2 年最优的采样监测方案。
针对问题(4),首先,使用“微元法”计算平均河底高程,观察其变化情况得出结论:每年“调水调沙”
成效不佳,河底高程始终保持在 45m 左右,2019 年成效尤其不佳,下降了 0.23m。其次,考察水通量的变
化情况得出结论:每年“调水调沙”成效不佳,水通量呈现逐年下降趋势,2018 年成效尤其不佳,水通量
下降了 72%。如果不“调水调沙”,那么水通量逐年上升趋势越来越严重,2022 年水通量上升幅度尤其不
佳,上升了 6.4%。第三,考察沙通量的变化情况得出结论:每年“调水调沙”成效不佳,2021 年与 2020
年相比,沙通量下降了 45.4%。第四,使用灰色 GM(1,1)模型预测了未来十年的河底高程。
本文优点是使用季节指数、双对数回归方程、M-K 检验法、最优分割法、小波变换法、R/S 分析法研
究分析季节性、周期性、突变性,能够交叉验证,可靠性强;使用傅里叶级数逼近水沙通量曲线预测精度
较高;在建立最优采样监测方案时巧妙转化为背包问题,存在最优解;在计算曲线的平均高度时,使用了
“微元法”。不足之处是在预测未来 2 年的水沙通量时,难以给出突变点数值,导致在突变点处误差较大。
本文所使用的模型或方法可以推广到水文资料分析问题中,还可以推广到其它有关季节性、周期性、
突变性等问题的分析中。
关键词:双对数回归;M-K 检验;小波变换;R/S 分析;傅里叶级数;0-1 规划;微元法
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/88941251/bg2.jpg)
2
一、问题重述
通过研究黄河水沙通量的变化规律可以对沿黄流域的环境治理、气候变化和人民生活的影响做出一定
判断,以及对优化黄河流域水资源分配、协调人地关系、调水调沙、防洪减灾提供帮助。对黄河的治理发
展有重要的理论指导意义。
根据附件中的数据,建立数学模型,解决下列问题:
(1)研究含沙量与时间、水位、水流量的关系,并估算近 6 年的年总水流量和年总排沙量。
(2)分析水沙通量的突变性、季节性和周期性等特性,研究水沙通量的变化规律。
(3)根据水沙通量的变化规律,预测该水文站未来两年水沙通量的变化趋势,并为该水文站制订未来
两年最优的采样监测方案,使其既能及时掌握水沙通量的动态变化情况,又能最大程度地减少监测成本资
源。
(4)分析每年 6-7 月小浪底水库进行“调水调沙”的实际效果。如果不进行“调水调沙”,10 年以
后该水文站的河底高程将会带来什么结果和影响。
二、问题分析
首先,要对原始数据进行整理,主要是对空缺数据的补充。
针对问题(1),该问题分为两个方面,一是研究水位、水流量、时间与含沙量的关系,二是估算近六年
的该水文站的年总流水量和年总排沙量。对于含沙量与时间的关系,可以通过时序图、季节指数、时间趋
势等方法来描述。对于含沙量与水位的关系,可以通过相关分析、回归分析来解决。然后定义年总流水量
和年总排沙量,并计算 6 年的数值结果。
针对问题(2),水通量就是径流量(亿 m3),沙通量就是排沙量(亿吨),研究它们的变化规律,需要
从统计特征、季节性、周期性和突变性四个方面来入手。季节性可通过月份指数、季度指数来描述。周期
性可通过时序图、建立三角函数来解决。突变性可通过非参数 Mann-Kendall 检验法来解决。
针对问题(3),为预测水沙通量的变化趋势,我们借鉴 R/S 分析法分析水沙通量的分形特征和长期记忆
过程,以判断其未来存在相同趋势、反转趋势或随机趋势。为了制订采样监测方案,使用小波分析法分析信
号不同周期的时间演变规律,以掌握其丰枯旱涝情况,再根据这些情况制订最优的采样监测方案。
针对问题(4),要评估“调水调沙”的实际效果,可以比较“调水调沙”前后河底高程、水沙通量、水
流量等指标的变化。根据起点距的定义,使用“微元法”近似计算平均河底高程。
针对本文建立的模型,还需要进行敏感性分析和稳健性分析。
本文研究路径如图 1 所示。
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/88941251/bg3.jpg)
3
图 1 研究路径
三、符号说明
y
:因变量 (含沙量)
x
:自变量 (水位、时间、水流量)
1
:回归系数
0
:回归常数
z
:表示年总水流量(亿 m3)
1
x
:水位
p
:表示水通量(亿 m
3
)
(2)
t
x
:表示 时刻的水流量(m3/s)
q
:表示沙通量(亿吨)
2
x
:水流量
( )f t
:表示
t
时刻的水沙通量
t
:表示时刻(日)
t
x
:表示
t
时刻的水沙通量
H
:R/S 分析法的统计量
注:其余符号在文中给出.
四、模型假设
为了简化问题,作如下假设:
(1)附件数据准确无误。
(2)水位和河底高程固定均以海拔 72.26 米为基准面。
(3)
( )f t
表示
t
时刻的水沙通量,假设其满足狄利赫里(Dirichlet)条件。
(4)水通量、沙通量序列是独立序列。
(5)每年 6-7 月份“调水调沙”一次。
五、模型建立与求解
5.0 数据整理
本文提供了以“日”“月”“年”为时间单位的时间序列。首先,检查日期是否连续,如果不连续,就
补充完整。其次,由于数据存在缺失,就用邻近值代替。第三,为了排除闰年的影响,一年定为 365 天。附件
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/88941251/bg4.jpg)
4
1 的数据整理结果(样表)如表 1 所示。
表 1 数据整理
序号
年
月
日
水位(m)
流量(m3/s)
含沙量 kg/m3)
1
2016
1
1
42.79
357
0.825
2
2016
1
1
42.8
363
0.825
3
2016
1
1
42.8
363
0.796
4
2016
1
1
42.81
368
0.796
5
2016
1
1
42.84
384
0.796
…
2338
2016
12
30
42.19
217
0.415
5.1 问题(1)——建立含沙量与时间、水位和水流量的关系
问题分析:含沙量与时间的关系,可以通过时序图、季节指数、时间趋势等方法来描述。含沙量与水
位、水流量的关系,可以通过相关性、建立回归方程来描述。
建模思路:首先,研究含沙量与时间的关系,画时序图观察是否存在某种趋势,计算季节指数观察是否
存在旺季和淡季。其次,以含沙量为因变量,以水位、水流量为自变量,建立回归方程。
5.1.1 研究含沙量与时间的关系
5.1.1.1 研究含沙量与月份、季度的关系
画出含沙量的时序图,如图 2 所示。从图中可知,有几个离群点,必须剔除。剔除离群点之后,时序图如
图 3 所示,从图中可得出以下结论:
(1)2016、2017 年的含沙量较小,但从 2018 年开始大幅度增长。
(2)含沙量随着年份存在周期性波动。
图 2 含沙量时序图 图 3 剔除离群点后的含沙量时序图
分别计算 12 个月的月份指数和 4 个季度的季度指数,如图 4、图 5 所示,从图中可得出以下结论:
(1)每年 7 月、9 月、10 月为旺季,每年 1 月、2 月、11 月、12 月为淡季。
(2)每年 2、3 季度为旺季,每年 1、4 季度为淡季。
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/88941251/bg5.jpg)
5
图 4 含沙量的月份指数 图 5 含沙量的季度指数
5.1.1.2 研究含沙量与时刻(日)的关系
设
y
表示含沙量(kg/m
3
),
t
表示时刻(日),
y
和
t
的函数关系为
siny A t C
(1)
由于
y
的周期为 365 天,故
2
365T
,
2
365
,于是
2
sin
365
y A t C
(2)
使用最小二乘法进行分段拟合得,
2
0.30sin 0.27 1.02, 0,730
365
2
3.78sin 1.93 4.49, 731, 2190
365
t t
y
t t
(3)
拟合效果如图 6、图 7 所示,从图中可知,拟合精度较高。
图 6 2016-2017 年含沙量函数拟合效果 图 7 2018-2021 年含沙量函数拟合效果
5.1.2 研究含沙量与水位、水流量的关系
画出水位、水流量、含沙量两两之间的散点图,如图 6 所示。从图中可得出以下结论:
(1)水位与水流量之间是高度的线性正相关关系。
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