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2023数模国赛优秀论文A165.pdf
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2023年,高教社杯,全国大学生数学建模竞赛,优秀论文
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基于机理分析法的定日镜场优化设计模型
摘要
本文针对定日镜场优化设计问题,运用光学相关定律进行机理分析,建立单目标最
优化模型,基于三分查找、蒙特卡洛方法进行计算机求解,在不同的定日镜数量、位置、
尺寸的多种情形下,解决了定日镜场各效率的求解与输出功率优化问题。
对于给定镜场参数情形下的光学效率与输出热功率求解问题,将定日镜反射集热过
程划分为太阳光线入射过程、定日镜法向调整过程、阴影遮挡与集热器截断过程,分别
进行建模。太阳光线入射过程,通过太阳高度角、方位角确定入射光线方向;定日镜法
向调整过程,根据定日镜与集热器中心位置计算反射光线方向向量,从而计算出各定日
镜平面法向量;阴影遮挡与集热器截断过程,利用空间向量方法判断光线入射、反射过
程中是否被其他定日镜阻挡,计算镜面各点反射锥形光线在集热器表面形成的光斑面
积,从而计算阴影遮挡效率、集热器截断效率。通过上述分析,建立定日镜场光学效率
与输出热功率求解模型。将定日镜面栅格化,求解得到在原问题给定参数下,定日镜场
光学效率、余弦效率、阴影遮挡效率、截断效率、输出热功率、单位面积镜面输出热功
率的年平均值分别为 0.4902,0.7565,0.8955,0.8078,24.04MW,0.3827kW/㎡。
对于统一定日镜尺寸及安装高度情形下镜场单位面积镜面输出热功率(以下简称
年平均功率)的优化问题,可利用上一问题模型计算年平均功率并进行优化。以最大化
年平均功率为优化目标,镜场半径、定日镜与吸收塔距离、镜面宽高、相邻定日镜底座
中心距离的限制为约束条件,建立镜场年平均功率单目标优化模型。为降低庞大的解空
间维度,固定其他变量,对镜面宽、高等变量单独分析,基于三分查找算法搜索变量的
较优解,得到近似最优情形下,吸收塔的平面位置坐标为 (0,-237.0240),定日镜宽、高
均为 5.4670m,安装高度均为 6m,定日镜数量为 3249,镜场光学效率、余弦效率、阴影
遮挡效率、截断效率、输出热功率、单位面积镜面输出热功率的年平均值分别为 0.5787,
0.8614,0.8546,0.8811,43.73MW,0.4505kW/m
2
。
对于各定日镜尺寸及安装高度可变情形下镜场年平均功率的优化问题,本问题仅在
上一问题基础上增大了解空间维度,故建立优化目标、约束条件与上一问题相同的镜场
年平均功率单目标优化模型。以各排定日镜安装高度为决策变量进行蒙特卡洛模拟求
解,其他参数与上一问题保持一致,得到近似最优情形下,镜场光学效率、余弦效率、
阴影遮挡效率、截断效率、输出热功率、单位面积镜面输出热功率的年平均值分别为
0.5856,0.8625,0.8642,0.8804,44.25MW,0.4556kW/m
2
,定日镜数量、各定日镜尺
寸与安装高度、吸收塔位置坐标与上一问题一致。
最后,对模型进行检验,并评估模型优缺点。
关键词:定日镜场 单目标优化 栅格化 三分查找 蒙特卡洛
1
一、 问题重述
1 . 1 问题背景
我国正积极采取行动,以应对气候变化并实现“碳达峰”和“碳中和”的目标,为
达到该目标,需构建一个以新能源为主体的电力系统。因此,我国计划在地理坐标为东
经 98.5 度和北纬 39.4 度,位于海拔 3000 米的高海拔地区上实施太阳能发电项目。
此发电项目利用了塔式太阳能光热发电技术,它是一种低碳、环保的清洁能源技
术。在这个技术中,定日镜是基本组件之一。定日镜由两个主要部分组成:纵向转轴和
水平转轴,平面反射镜则安装在水平转轴上。纵向转轴的轴线与地面垂直,负责控制反
射镜的方位角,而水平转轴的轴线与地面平行,用于控制反射镜的俯仰角。这些调整可
以确保太阳光线准确地聚焦在吸收塔上的集热器上。
为实现发电目标,计划在圆形区域内建设一个定日镜场,这个区域的半径为 350 米。
为了便于规划和操作,以圆形区域的中心为原点,建立三维坐标系。项目规划中,吸收
塔的高度为 80 米,集热器采用高 8 米、直径 7 米的圆柱形外表受光式集热器。此外,规
划还包括在吸收塔周围的 100 米范围内留出空地,以用于建造厂房。
定日镜的形状为平面矩形,其中上下两条边始终平行于地面。且上下两条边之间的
距离和左右两条边之间的距离被分别定义位镜面高度与宽度。为确保稳定的反射效果,
镜面宽度不小于镜面高度。此外,为了维护和清洗设备,相邻定日镜底座中心之间的距
离必须比镜面宽度多出至少 5 米。
最后,为了进行性能评估和数据分析,所有“年均”指标的计算时点均为当地时间
每月 21 日的几个具体时刻,包括 9:00、10:30、12:00、13:30 和 15:00。
1 . 2 问题要求
问题一: 在本问题中,需要在以吸收塔为圆心,半径为 350m 的圆形区域内建设一
个圆形定日镜场。在已知定日镜的尺寸以及各个定日镜的地理位置情况下,该问题的目
标是计算该定日镜场的年均光学效率,年均输出热功率,和单位镜面积的年均输出热功
率。光学效率和输出热功率的定义已在附录中给出,最终的计算结果将以表格 1 和表格
2 的格式进行呈现。
问题二: 本问题需要在满足定日镜场的额定年平均输出热功率为 60 MW 的前提下,
最大化单位镜面面积年平均输出热功率。为此,需要确定吸收塔的位置坐标、定日镜尺
寸、安装高度、定日镜数目以及定日镜位置。在设计过程中,各个定日镜尺寸以及安装
高度需保持相同。设计完成后,将结果按照表格 1、2、3 的格式填写,并将吸收塔的位
2
置坐标、定日镜尺寸、安装高度以及定日镜位置按照指定格式保存到名为”result2.xlsx”
的文件中。
问题三: 在本问题中,由于定日镜的尺寸以及安装高度可以不同,因此需要重新设
计太阳能定日镜场,以满足定日镜场的额定功率为 60MW 的条件下,最大化单位镜面
面积年平均输出热功率。设计完成后,将结果按照表格 1、表格 2 和表格 3 的格式填写,
并将吸收塔的位置坐标、各定日镜尺寸、安装高度以及定日镜位置按照指定格式保存到
名为”result3.xlsx” 的文件中。
二、 问题分析
2 . 1 对定日镜场光学效率与输出热功率求解模型的分析
在本问题中,需根据原问题给定参数计算定日镜场的月平均与年平均余弦效率、阴
影遮挡效率、光学效率等指标。为计算余弦效率和阴影遮挡效率,首先需要确定太阳方
位、定日镜平面法向量,可栅格化定日镜平面,对每一栅格判断光线是否被遮挡或形成
阴影。对反射无遮挡的光线,可模拟镜面反射时形成的锥形光束,通过集热器表面光斑
面积求解集热器截断效率。镜面反射率可取为固定常数,大气透射率可通过镜面中心到
集热器距离进行求解。通过上述效率值,进一步计算镜场光学效率、输出热功率等。
2 . 2 对镜场年平均功率优化模型的分析
在本问题中,需要在统一定日镜尺寸及安装高度情形下,对单位镜面面积年平均输
出的热功率进行优化,需要基于上一问题模型计算定日镜场各效率值,利用单目标优化
相关理论进行求解。由于各定日镜的位置、安装高度均为决策变量,解空间维数庞大,
需要先进行降维处理,减少决策变量个数,可以利用固定若干变量、搜索其他变量较优
解的方法对解空间进行降维。
2 . 3 对镜场年平均功率优化模型的分析
在本问题中,需要在各定日镜尺寸及安装高度可自由选择的情形下,对单位镜面面
积年平均输出的热功率进行优化。与上一问题类似,可利用单目标最优化理论进行求
解。本问题各个定日镜的高度、宽度与底座中心位置坐标均为决策变量,解空间维数相
比上一问题进一步增大,需要在上一问题的定日镜位置坐标基础上进行调整,可以利用
蒙特卡洛方法进行随机模拟,求解近似最优解。
3
三、 模型假设与约定
1. 忽略降雨等天气因素对定日镜光学效率的影响,仅考虑晴朗天气的情形;
2. 反射光线在集热器表面形成的光斑内均匀分布,且能量全部被集热器接收;
3. 计算阴影遮挡、余弦效率时,由于太阳光锥顶角极小,将入射太阳光视为平行光;
4. 计算某块定日镜阴影遮挡时,仅考虑其他定日镜对入射、反射太阳光的遮挡,忽略
吸收塔导致的阴影遮挡;
5. 忽略镜面厚度;
6. 不考虑镜场内地形起伏;
7. 所有镜面上各点镜面反射率均为相等的常数;
8. 忽略光线在定日镜表面的漫反射。
4
四、 符号说明及名词定义
表 1 符号说明
符号 含义 单位
δ 太阳赤纬角 rad
ω 太阳时角 rad
ϕ 定日镜场所在地纬度,北纬为正 rad
H
a
定日镜场所在地海拔 km
α
s
太阳高度角 rad
γ
s
太阳方位角 rad
u
i
第 i 块定日镜中心入射光线方向向量 -
v
i
第 i 块定日镜中心反射光线方向向量 -
n
i
第 i 块定日镜平面法向量 -
η
i
第 i 块定日镜光学效率 -
(η
cos
)
i
第 i 块定日镜余弦效率 -
(η
sb
)
i
第 i 块定日镜阴影遮挡效率 -
(η
trunc
)
i
第 i 块定日镜对应集热器截断效率 -
A
i
第 i 块定日镜采光面积 m
2
W
i
第 i 块定日镜宽度 m
H
i
第 i 块定日镜高度 m
h
i
第 i 块定日镜安装高度 m
N 定日镜场定日镜总面数 -
x
c
集热器中心在镜场坐标系内 x 坐标 m
y
c
集热器中心在镜场坐标系内 y 坐标 m
z
c
集热器中心在镜场坐标系内 z 坐标 m
E
field
定日镜场输出热功率 kW/m
2
5
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阿拉伯梳子
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