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2023数模国赛优秀论文A175.pdf
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2023年,高教社杯,全国大学生数学建模竞赛,优秀论文
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1
定日镜场的优化设计模型
摘 要
定日镜场能将太阳光反射汇聚到安装在镜场中的吸收塔集热器上,实现能量转换,
不同的定日镜场参数会影响定日镜场的效率。本文通过光线反射、入射等模型,计算
给定参数下的定日镜场效率,并建立定日镜场的效率优化模型,研究定日镜场参数变
化对单位镜面面积平均输出热功率的影响。
针对问题一,本文建立了定日镜场的效率计算模型。首先,建立镜场大地坐标系、
镜面坐标系和光锥束坐标系,描述定日镜场的参数。太阳光束的入射光线和反射光线
考虑为光锥束,计算太阳光的入射和反射,考虑阴影遮挡损失、余弦损失、集热器截
断效率等因素。通过坐标变换和方程联立,判断某入射光线及对应的反射光线是否造
成阴影遮挡损失所涉及的塔身阴影损失、入射镜面遮挡损失、反射镜面遮挡损失,再
判断成功反射出的光线是否被集热器接收。最后得到光学效率和输出热功率的表达式,
进一步计算年平均光学效率、年平均热功率、单位镜面面积年平均输出热功率等。在
某个定日镜上取点步长
τ
为 1m,在光锥束上取
1
0.002rad
θ
=
,
2
0, / 2, ,3 / 2
θ π ππ
=
,进
行网格化构建入射光线束和反射光线束,计算得到表 1 和表 2。该定日镜场的年平均输
出光学效率 0.536230167、年平均输出热功率 32.76117051MW、单位镜面面积年平均
输出热功率 0.521508604kW/m
2
,最后,进行敏感性分析,分析步长
τ
对结果的影响。
针对问题二,本文提出了单位镜面面积年平均输出热功率的优化模型。问题二是
在定日镜场的额定年平均输出热功率为 60MW 的条件下,设计定日镜场的参数,使得
单位镜面面积年平均输出热功率尽量大。决策变量包括吸收塔的位置坐标、定日镜的
尺寸(相同)、安装高度、数量和位置。目标函数是单位镜面面积年平均输出热功率的
最大值,约束条件包括镜面边长在 2m 至 8m 之间、安装高度在 2m 至 6m 之间、相邻
定日镜底座中心距离比镜面宽度多 5m 等。先取
,
wv
相等,用蜂窝排列法确定圆环内能
排列的定日镜数目和位置。然后将蜂窝进行绕原点旋转
µ
,用蒙特卡洛模拟法对部分
定日镜进行随机抽样,得到粗决策变量,从而进一步计算光学效率和单位面积输出热
功率等。最后遍历
00
, ,, ,w vhX Y
µ
=
寻找决策变量的最优解。得到该定日镜场的年平均
输出光学效率 0.591643667、年平均输出热功率 68.24427914MW、单位镜面面积年平
均输出热功率 0.572538333kW/m
2
。
针对问题三,本文提出了单位镜面面积年平均输出热功率的优化模型。问题三是
在定日镜尺寸和安装高度可以不同的情况下,设计定日镜场的参数,使得单位镜面面
积年平均输出热功率尽量大。以单位镜面面积年平均输出热功率为目标函数,以吸收
塔位置坐标、定日镜尺寸、安装高度、定日镜数目、定日镜位置为决策变量,以额定
功率、相邻定日镜距离、圆形区域半径等为约束条件,建立优化模型。考虑通过第二
问求得结果进一步优化,将最外围的定日镜安装高度升高为 6m,其他不变,得到该定
日镜场的年平均输出光学效率 0.496428083、年平均输出热功率 60.336111MW、单位
镜面面积年平均输出热功率 0.506192417kW/m
2
。
关键词:坐标旋转 光学效率 输出热功率 锥形光束 蜂窝排列法
2
一、 问题分析
1.1 问题一的分析
问题一是在定日镜场参数确定时,计算定日镜场的效率。同时,题中简化计算
“年均”指标只需计算每月 21 日 5 个时间点等。为了得到最大的效率,我们认为经过
定日镜中心反射后的反射光线通过集热器中心,那么其他入射光线也能大部分被集热
器接受。因此,太阳位置确定后,经过定日镜中心的入射光线和反射光线确定,可根
据向量法则计算定日镜的法向量,从而确定每个定日镜场的俯仰角和方位角。阴影遮
挡损伤考虑塔身的阴影损伤、后排镜面接受的太阳光线被前镜阻挡的阴影损伤和后排
镜面反射的太阳光线被前镜阻挡的遮挡损伤。余弦损伤考虑为入射光线和镜面法线不
平行的能量损伤。最后,建立模型表示集热器的接收能量,计算定日镜场的相应量。
1.2 问题二的分析
优化模型下,吸收塔的位置坐标、定日镜尺寸、安装高度、定日镜数量、定日镜
位置为决策变量,单位面积年平均输出热功率尽量大为目标函数,每个定日镜尺寸和
安装高度相同,在满足约束条件的情况下,使得目标函数尽量大。进行逐步寻优,先
确定定日镜尺寸和安装高度,之后逐步寻找其他决策变量的优解,使得目标函数达到
局部最优解即可。
1.3 问题三的分析
每个定日镜尺寸和安装高度不同,确定定日镜场的其他参数,在满足约束条件的
情况下,使得单位面积年平均输出热功率尽量大。根据问题二的寻优过程,适当调整
尺寸和高度。
二、 模型假设
为了对模型进行合理简化,我们建立了以下的模型假设:
1、 假设太阳光直接照射到集热器上,不计入我们模型的计算。
2、 假设相对于 3000m 的海拔,定日镜作为垂直于太阳光线的平面,计算 DNI 时的海
拔可以忽略定日镜的高度。
3、 假设吸收塔的直径和集热器的直径相同,为 7m。
4、 假设安装定日镜场时不考虑人工成本、土地利用率等。
三、 符号说明
符号表示 符号说明
,
ss
αγ
太阳高度角、太阳方位角
,
ηη
年平均光学效率,平均光学效率
,
s
PP
年输出平均热功率,单位镜面面积年平均输出热功率
,
iz
TT
镜面坐标系、光锥坐标系转到大地坐标系的旋转矩阵
,, ,
zz
αβα β
定日镜的方位角、俯仰角,光锥束的方位角和俯仰角
3
注:其他符号将在下文给出具体说明
四、 问题一的模型建立与求解
4.1 问题一的模型准备
4.1.1 镜场大地坐标系的建立
在计算定日镜场的效率时,由于一年中太阳是运动的,因此需要确定太阳的位置
才能计算定日镜场的效率。根据题目描述,为了简化计算,“平均”指标只需在每月 21
日的 9:00、10:30、12:00、13:30、15:00 计算,因此当太阳位置位于每月 21 日
的 5 个时间点时,太阳位置固定,可计算镜场效率。首先,以圆形区域中心为原点,
正东方向为 x 轴方向,正北方向为 y 轴方向,垂直地面方向为 z 轴方向建立定日镜场的
大地坐标系。
图 1:定日镜场的大地坐标系
在该坐标系中,第 i 个定日镜中心位置坐标
( )
,,
i ii
i
xyzd
,集热器中心坐标
( )
0, 0, H
J
。
4.1.2 太阳主光线入射、反射以及定日镜法向
太阳光并非平行光线,而是具有一定锥形角的一束锥形光线。因此,先对太阳的
一条主光线进行描述。进行在计算定日镜场效率时,需要首先需要对定日镜的入射主
光线、反射主光线、法向、俯仰角和方位角进行建模。首先,根据太阳高度角和太阳
方位角的定义和公式,结合下图,则可得到太阳光的入射主光线方向向量如下:
(
)
cos sin , cos cos , sin
i ss s s s
L
αγ αγ α
=−− −
(1)
其中,根据太阳方位角和太阳高度角的公式,ST 为当地时间,
δ
为太阳赤纬角,D 为
以春分作为第 0 天起算的天数,
ω
为太阳时角,
ϕ
为当地纬度:
( )
sin cos cos cos sin sin
sin sin sin
cos
cos cos
12
12
22
sin sin sin 23.45
360 360
s
s
s
s
ST
α δϕω δϕ
δ αϕ
γ
αϕ
π
ω
ππ
δ
= +
−
=
= −
=
而正常来说,对于中国区域,早上太阳光从东边射来,中午太阳光从南边射来,傍晚
y
x
z
J
(0,0,H)
定
日
镜
s
γ
s
α
集
热
器
吸
收
塔
φ
4
太阳光从西边射来。早上的太阳方位角在 90°左右(但一年当中,有一定的角度范围
变化),正中午的太阳方位角在 180°(正南方),傍晚的太阳方位角在 270°左右(但
一年当中,有一定的角度范围变化)。因此,对于太阳方位角的正弦值需要进行分类讨
论,如下:
2
2
1 cos , 12
sin
1 cos , 12
s
s
s
ST
ST
γ
γ
γ
−<
=
−− ≥
图 2:太阳方位角和高度角图示
我们认为,控制器控制定日镜的法向(即控制定日镜的俯仰角和方位角)使得经过定
日镜中心的反射主光线刚好经过集热器中心,即为定日镜法向对不同太阳位置的最佳
调节。因此,经过定日镜中心的反射主光线单位向量为:
( )
( )
,,
,,
ii i
r
ii i
x yH z
L
x yH z
−− −
=
−− −
根据平行四边形定理,从而得到该时刻太阳位置下,第 i 个定日镜的法向量为(以下简
称定日镜法向量):
( )
ir
n LL
=−+
通过镜场大地坐标系 z 轴的方向向量
( )
0, 0,1Z =
,计算定日镜的俯仰角
β
,即定日镜的
法向量与镜场大地坐标系投影轴的夹角,如下图:
图 3:定日镜的方位角(
α
)和俯仰角(
β
)计算示意图
y
x
z
β
α
定日镜法向
y
x
z
s
α
s
γ
太阳
5
arccos
2
nZ
nZ
π
β
⋅
= −
⋅
(2)
将定日镜的法向量投影于大地坐标系的 xoy 平面,得到定日镜法向量的投影向量
0
n
,
计算
0
n
与大地坐标系 x 轴的方向向量
S
的夹角为方位角
α
,如下:
( )
( )
0
0
0
0
0
0
arccos , 2 0
arccos , 2 0
nS
n
nS
nS
n
nS
α
⋅
≥
⋅
=
⋅
−<
⋅
(3)
其中
( )
( ) ( )
(
)
00 0
1,0,0 , 1 , 2 ,0S nn n
= =
。光学效率包含了阴影遮挡效率、余弦效率、大气
透射率、集热器截断效率和镜面反射率。因此确定太阳的反射和入射及定日镜的法向
调节后,需表示太阳光线入射反射造成的阴影遮挡效率、集热器接收情况和余弦效率。
4.1.3 定日镜面坐标系的建立
为了方便表示和计算定日镜面上的坐标,我们需要将定日镜面的坐标系转换到镜
场大地坐标系或者将镜场大地坐标系转换到定日镜面坐标系。因此,以定日镜中心为
原点,以经过原点 d 并垂直镜面的法向量为 z 轴。以经过原点平行镜面的宽为 x 轴,以
经过原点平行镜面的长为 y 轴,建立镜面坐标系(见下图):
图 4:定日镜面的坐标系
4.1.4 光锥坐标系的建立
太阳光并非平行光线,而是具有一定锥形角的一束锥形光线,因此太阳入射光线
经定日镜任意一点的反射光线也是一束锥形光线。在考虑阴影遮挡和集热器吸收能量
时,需要考虑锥形光束的吸收和遮挡。因此,我们需要建立起以主入射光线和主反射
光线为锥体中心线的光锥坐标系。大地坐标系下的反射光锥束的中心主光线
( )
,,
z
L mn p=
,以主光线为 z 轴,则 z 轴的方向向量为
( )
0, 0,1s =
,则锥体光线束的俯
仰角
z
β
为:
arccos
2
z
z
z
Ls
Ls
π
β
⋅
= −
⋅
锥体光线束的主光线与 x 轴的夹角即方位角
z
α
为:
y
x
z
d
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阿拉伯梳子
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