离散型随机变量的均值与方差是高中数学中重要的概率统计概念，尤其是在高考复习阶段，这个知识点显得尤为重要。在本次核心素养测评七十五的试题中，涉及到这两个概念的实际应用，具体体现在商场的摸球兑奖活动中。
商场活动的规则是顾客随机抽取两个球，球面上的面值之和即为顾客的奖励。问题(i)要求计算奖励额为60元的概率，这需要运用组合概率的知识。问题(ii)则需要确定奖励额的分布列和数学期望（均值），分布列是列出随机变量所有可能取值及其对应概率的表格，而数学期望则是这些取值乘以其对应概率的和，代表随机变量的平均值。
在第一个问题中，我们看到有1个50元球和3个10元球，求得顾客获得60元的概率是通过计算特定组合的概率。而在问题(ii)中，随机变量X的所有可能取值为20元和60元，对应概率分别为0.5，因此数学期望E(X)等于20元乘以0.5加上60元乘以0.5，结果为40元。
接着，试题进入了第二部分，商场希望奖励总额接近60,000元，并且让顾客获得的奖励相对均衡。这里需要找到期望为60元的球面值组合，也就是离散型随机变量的期望值设计。通过排除法，确定了两种可能的方案：(10,10,50,50)和(20,20,40,40)。然后通过计算每个方案的期望和方差，方差反映了随机变量的波动程度，较小的方差意味着奖励更均衡。在这里，方案2的方差小于方案1，所以选择了方案2。
在第二道题目中，涉及的是年入流量的概率分布和期望最大化的决策问题。根据历史数据，年入流量分为三个区间，每个区间的概率可以由过去年份的频率计算得出。问题(i)是未来4年中至多1年年入流量超过120的概率，这里可以用二项分布来计算。问题(ii)涉及水电站年总利润的期望最大化，通过分析不同台数发电机运行的利润情况，可以构建年总利润Y的分布列，进而求解期望E(Y)，以确定最佳的发电机安装数量。
离散型随机变量的均值与方差在实际问题中有着广泛的应用，如商场奖励活动的策划和水电站的经济效益分析。理解和熟练运用这些概念，不仅可以解决高考中的问题，也有助于培养学生的实际问题解决能力。在教学中，应当强调理论与实际的结合，让学生能够深入理解并灵活运用这些数学工具。
