2022届高考数学一轮复习核心素养测评第11章11.7.1离散型随机变量的均值与方差含解析新人教B版

离散型随机变量在概率论和统计学中是重要的概念，尤其在数据分析和决策中扮演着关键角色。在高考数学的复习中，理解和掌握离散型随机变量的均值（期望）与方差是必不可少的知识点。这两个概念是衡量随机变量平均行为和波动性的主要工具。 1. **离散型随机变量的均值（期望）**： 均值，又称期望值，是随机变量所有可能取值与其对应概率乘积的总和。对于离散型随机变量 \( X \)，其均值 \( E(X) \) 计算公式为： \[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X=x_i) \] 在题目中的例题1和2中，分别给出了随机变量的分布列，通过计算每个值 \( x_i \) 乘以其对应的概率 \( P(X=x_i) \) 并求和，即可得到均值。 2. **离散型随机变量的方差**： 方差是衡量随机变量值偏离其均值的程度，它给出数据的波动性。对于离散型随机变量 \( X \)，其方差 \( D(X) \) 计算公式为： \[ D(X) = E[(X-E(X))^2] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \cdot P(X=x_i) \] 方差越大，随机变量的值越分散；方差越小，随机变量的值越集中。在例题3和7中，通过已知的均值和分布列，可以求解出方差。 3. **应用举例**： - 例题4给出了一个经济决策问题，涉及到了随机变量的期望值来计算利润。在这个例子中，需求量的不确定性导致了预期利润的计算，其中卖不出去的鲜花的处理价也影响了期望利润。 - 例题5和6考察了随机变量的期望和方差在不同情况下的计算，例如切割正方体后涂漆面数的期望值，以及随机变量分布列中未知参数对期望和方差的影响。 - 例题7和8展示了如何利用分布列和概率性质来求解方差，同时强调了概率之和为1的特性。 - 例题9和10则涉及到二项分布的期望和方差，以及实际应用中的保险赔付问题，需要计算保险公司收益的期望值以确保盈利。 这些题目覆盖了离散型随机变量均值和方差的基本计算方法及其在实际问题中的应用，是高考数学复习中的重点内容。考生应熟练掌握这些计算技巧，并能够灵活运用到各种情境中去解决问题。通过这样的练习，不仅可以提升解题能力，还能提高对随机现象理解和分析的能力。