数列化归为线性递归数列的常见技巧.pdf
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2008-11-25
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２以犯年第４期
｛命‘与解题｝
非线性递归数列化归为线性递归数列的常见技巧
邹 发 明
（重庆市第一中学校冲以叉刀幻）
在数学竞赛中，常常遇到一些具有一定
难度的非线性递归数列，对这类问题有时不
妨将其化归为线性递归数列，然后用特征根
方法求解，
１ 因式分解
例１ 已知数列ｌａ。｝中，
ａｌ＝１，ａＺ二２，ａ３＝一１，
ａ。＋２。。＋，二４ａ。，１‘一６ａ。＋１。。＿，＋ｇａ声。＿：一６ａ乏．
求ａ。．
分析：该递归数列是非线性齐次递归数
列，不能直接用特征根方法．注意到递归式是
二次齐次式，可通过因式分解将其化为一次
齐次式．
解：因为
．‘，Ｚａ。，；二４‘＋；ａ，一６ａ。＋：ａ。一：＋９“ ＿：一６ａ乏
＝（Ｚａ二＋１一３ａ。）（Ｚａ。一３ａ。＿１），
收稿日期：２（ＸＪ７一伪一仍 修回日期二２１】）７一１２一１７
（提示：由平均值不等式得
（：＋了）２＋（ｘ＋ｙ＋４：）２
）４（叮＋２二＋２终＋４：丫石）．
故＊）４注土土土三（叮＋２二＋２笋＋４：而 ）
那
＝４（音＋奇＋专＋专＋‘卜
都有艺
ａ考
心；－二共 又
Ｄｉ
艺试．
１二１
（提示：对于任意的 。‘、ｄ‘ｅ【１，２］，有
。。，１
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一。‘）（２试一。‘）‘０，则
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＋鱼＋生＋
ｙ 名
故艺（砚＋
易知，当且仅当二二ｙ二２：时，无二＝１００．）
４。对任意的正数 ａ、ｂ、。且扩＞加，求最
大的实数 ｋ，使得
（ａＺ一阮）２＞无（ｂＺ一ｃａ）（。２一ａｂ）．
（提示：先取 ｂ二。＝１，ａ＝１＋。（：为一
个可以任意小的正数），由所给不等式得出
ｋ，二４，再给出证明．）
５．求最小的正数 几，使对于任意正整数
ｎ和ａ‘、ｂ沂 ［１，２］（１＝１，２，…，ｎ），且
，，、＿ ５
已下）二每 下犷
芯
２
－
而
＋
２
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而
设ａ‘、吞‘任［１，２］，令 ｃ‘二
好ｂ于．两次运用上述不等式，便得
ａ‘圣
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