根据给定的文件信息，本文将详细说明标题和描述中所涉及的知识点。本文主要讨论了几类常系数非齐次线性递归数列的通项公式，并利用相关性质得到了这些数列的通项表达式，同时也对现有结果进行了补充和改进。
在讨论非齐次线性递归数列时，我们首先需要了解递归数列的基本概念。递归数列是一类特殊的数列，数列中每一项的值都与其前若干项的值相关，这种相关性通常通过一个给定的递推公式来表达。而非齐次线性递归数列，则是在递推关系中，除了线性组合外，还含有非零常数项的数列。
线性递归数列的特征根理论是求解这类问题的重要工具。特征根是指将递推关系式对应的齐次线性递归数列的递推公式转化为特征方程后，求得的方程的根。对于具有常系数的非齐次线性递归数列，其通项公式通常可以分为两部分，一部分是齐次线性递归数列的通项公式，另一部分是非齐次项引起的特解。
在介绍非齐次线性递归数列的通项公式之前，需要了解几个关键概念：递推公式、特征方程、特征根、特征多项式、欧拉公式和齐次解。递推公式是递归数列的基本定义，而特征方程由递推公式转化而来，其根为特征根。特征多项式则是特征方程对应的多项式。欧拉公式则是在特定条件下用来求解非齐次项的辅助工具。
当递推关系式给出时，首先需要将其转化为特征方程，然后求解特征方程，得到特征根。根据特征根的不同情况，可以分别讨论通项公式的形式。如果特征根全部是互不相同的实数根，非齐次项的通项公式通常会采用指数函数和多项式函数相结合的形式；如果存在重根，则通项公式中会出现对应重根的幂函数。
在上述提到的递归关系式中，Un 表示数列的第n项，P1, P2, ..., Pk 表示常数系数，而 g(n) 表示非齐次项。对于这类数列，其通项公式会根据特征根的不同情况有所变化。例如，当特征方程的根为 b，且 b 不是特征多项式 creX = 0 的根时，数列的通项公式可以利用欧拉公式来表示，具体形式会涉及到 g(n) 的形式。如果 g(n) = c * cos(βn) 或 g(n) = c * sin(βn)，那么可以利用三角函数的性质和欧拉公式来求解通项。
对于复数特征根，即当特征方程的根为复数时，由于复数根总是成对出现，通项公式会包含复指数函数，然后通过欧拉公式转化为三角函数的形式。
本文还提及，如果某个特征根是重根，即特征方程有一个重根时，需要特别考虑这一情况，并且对于重根的每一重，递归数列的通项公式都会有不同的表达形式。对于特征根为二重根的情况，通项公式会包含对应特征根的二次幂。
此外，文中还提出了若干引理以及证明过程，这些都涉及到递归数列特征根的计算和递推公式的推导，是求解通项公式的关键步骤。
综合上述，文章的核心内容是讨论非齐次线性递归数列的通项公式，并且在已有研究的基础上进行了补充和改进。通过研究递归关系式、特征根和欧拉公式的应用，给出了不同特征根情况下的通项公式求解方法，并通过数学归纳法证明了这些公式的正确性。这一研究成果不仅丰富了线性递归数列的理论内容，还为解决实际问题提供了有力的数学工具。
