Matlab编程实现主成分分析.doc

### Matlab编程实现主成分分析 #### 概述 Matlab是一种强大的高级编程语言，广泛应用于科学研究、工程计算、数值分析等多个领域。特别是在自动控制、信号处理、图像处理以及数据分析等领域，Matlab因其丰富的内置函数库、高效的数据处理能力以及直观易学的编程环境而备受青睐。主成分分析(Principal Component Analysis, PCA)是一种常用的数据分析方法，主要用于数据降维、特征提取等方面。本文将详细介绍如何使用Matlab实现主成分分析。 #### 主成分分析计算步骤 1. **计算相关系数矩阵**： - 在Matlab中，可以使用`corrcoef`函数来计算数据集的相关系数矩阵。 - 相关系数矩阵是一个对称矩阵，其(i, j)元素表示第i个变量和第j个变量之间的相关系数。 - 公式：\[ r_{ij} = \frac{\sum_{k=1}^{n}(x_{ik}-\bar{x}_i)(x_{jk}-\bar{x}_j)}{\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_{ik}-\bar{x}_i)^2}\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_{jk}-\bar{x}_j)^2}} \] - 其中\( x_{ik} \)和\( x_{jk} \)分别是第i个和第j个变量的第k个观测值，\( \bar{x}_i \)和\( \bar{x}_j \)是对应的平均值。 2. **计算特征值与特征向量**： - 特征值和特征向量可以通过解特征方程\( |R - \lambda I| = 0 \)获得，其中\( R \)是相关系数矩阵，\( I \)是单位矩阵，\( \lambda \)是特征值。 - 在Matlab中，可以使用`eig`函数来计算特征值和特征向量。 - 特征向量通常需要进行归一化处理，确保每个特征向量的模为1。 - 排序特征值并选择前m个最大特征值对应的特征向量作为主成分。 3. **计算主成分贡献率及累计贡献率**： - 主成分的贡献率是指该主成分所解释的总方差占所有主成分解释的总方差的比例。 - 累计贡献率是前m个主成分的贡献率之和。 - 通常选择累计贡献率达到85%-95%时的主成分数量。 4. **计算主成分载荷**： - 主成分载荷是指原始变量与主成分之间的相关性。 - 公式：\[ l_{ij} = \sqrt{(\lambda_j)} \cdot e_{ij} \] - 其中\( \lambda_j \)是第j个主成分的特征值，\( e_{ij} \)是对应特征向量的第i个元素。 5. **计算主成分得分**： - 主成分得分是通过原始数据与特征向量的乘积得到的。 - 公式：\[ Z = X \cdot E \] - 其中\( Z \)是主成分得分矩阵，\( X \)是标准化后的数据矩阵，\( E \)是主成分对应的特征向量矩阵。 #### 程序结构及函数作用 1. **主函数**： - 负责读取数据、调用子函数以及输出结果。 2. **子函数**： - `Cwstd.m`：用于标准化矩阵。 - `Cwfac.m`：计算相关系数矩阵、特征值和特征向量，进行排序，并计算贡献率等。 - `Cwscore.m`：计算主成分得分。 - `Cwprint.m`：读入数据文件、调用其他函数并输出结果。 #### 示例代码解析 1. **Cwstd.m**： - 该函数使用总和标准化法标准化矩阵。 - 代码实现了对矩阵每一列的标准化处理。 - 通过计算每列的总和，然后将矩阵中的每个元素除以该列的总和，从而完成标准化。 2. **Cwfac.m**： - 使用`corrcoef`计算相关系数矩阵。 - 利用`eig`函数求解特征值和特征向量。 - 对特征值进行排序，并输出排序后的特征值。 #### 总结 通过上述步骤，我们可以使用Matlab有效地实现主成分分析。主成分分析不仅可以帮助我们理解数据的内在结构，还能在保持大部分信息的同时减少数据的维度，这对于后续的数据分析、建模等工作非常有帮助。Matlab的强大功能和易于使用的特性使得主成分分析的实现变得简单高效。