实变函数习题集

《实变函数习题集》是由宋国柱编写的，旨在帮助学生学习和掌握实变函数的基础知识和解题技巧。这本书不仅包括了实变函数的基本概念、主要定理的总结，还提供了大量的典型例题及其解法提示，同时收录了南京大学研究生入学考试实变函数试题及解答，因此成为课程学习和考研复习的理想读物。 实变函数是数学分析中一个重要的分支，主要研究定义在实数集上的函数，特别关注函数的极限、连续性、微分、积分等性质。实变函数的研究对于深化理解数学分析的基础知识，以及对于后续学习泛函分析、偏微分方程等数学高级课程都有重要的作用。 宋国柱在编写这本习题集的过程中，系统总结了实变函数与泛函分析的基本概念和主要定理，并在每一章都附上了一定量的练习题及解法提示。书中提到的基本概念和主要定理包括但不限于集与点集的对等性、势的概念、伯恩斯坦定理等。例如，伯恩斯坦定理指出，如果两个集合之间存在一一对应关系，并且每个集合的每一个子集都与另一个集合的子集存在一一对应关系，那么这两个集合是等势的。这个定理在集合论中具有重要地位，它帮助我们理解不同集合之间可能存在的关系。 此外，书中还对一些重要的数学概念和方法进行了阐释，比如吉贝格测度、可测函数、勒贝格积分、赋范线性空间、希尔伯特空间等。吉贝格测度是现代分析中的一个重要工具，用于衡量集合的大小，是勒贝格积分理论的基础；可测函数是指在一定条件下，其值的分布可以用吉贝格测度来刻画的函数；勒贝格积分是比传统的黎曼积分更为一般的积分概念，它为处理函数序列的极限等更复杂问题提供了理论支持。 赋范线性空间和希尔伯特空间则是泛函分析中研究的对象。赋范线性空间是带有一个范数的线性空间，而希尔伯特空间是赋范线性空间的一种，它具有内积结构，从而引入了范数和距离，是研究无穷维空间问题的基础。线性算子和线性泛函则是在这些空间之间进行变换的工具，是研究各类数学物理问题的数学模型。 习题集的第三部分收录了南京大学硕士研究生入学考试的实变函数试题及解答，这对于准备考研的学生来说具有很高的参考价值。通过对这些试题的练习，学生不仅能够巩固理论知识，还能够提高解决实际问题的能力。 《实变函数习题集》通过系统地总结理论知识、提供大量习题及解法、收录考研试题，不仅有助于学生对实变函数课程的学习，也能够帮助他们更好地准备研究生入学考试。对于从事基础数学和应用数学、信息和计算数学统计等专业的学生和研究者来说，这本书是一本宝贵的参考资料。