《实变函数论》课后答案

### 实变函数论知识点解析 #### 一、知识点概述 根据题目提供的信息，本文将针对《实变函数论》中的几个典型习题进行详细的解答与分析。这些习题涵盖了实变函数论的基本概念、极限理论、集合论以及度量空间等核心知识点。通过解答这些习题，可以帮助读者更好地理解实变函数论的基础理论，并掌握相关的解题技巧。 #### 二、知识点详解 **知识点一：序列的极限与子集** **例1：** 设 \(\{f_j(x)\}\) 是定义在 \(R^n\) 上的一列函数，令 \[E_k = \{x : f_j(x) \geq \frac{1}{k}\}, (j, k = 1, 2, \ldots)\] 求证： \[E = \{x : \lim_{j \to \infty} f_j(x) > 0\} = \bigcup_{k=1}^{\infty} E_k.\] **证明：** 1. 对于任何 \(k \in \mathbb{N}\)，如果 \(x \in E_k\)，则存在某个 \(j\) 使得 \(f_j(x) \geq \frac{1}{k}\)。由于 \(f_j(x)\) 的极限大于零，所以对任意的正整数 \(k\)，都存在无限多个 \(j\) 满足 \(f_j(x) \geq \frac{1}{k}\)，即 \(x \in E\)。 2. 反之，若 \(x \in E\)，即 \(\lim_{j \to \infty} f_j(x) > 0\)，则对于任意的 \(k\)，总存在 \(j\) 使得 \(f_j(x) \geq \frac{1}{k}\)，这意味着 \(x\) 属于所有 \(E_k\) 的并集。 3. 因此，\(E = \bigcup_{k=1}^{\infty} E_k\) 成立。 --- **知识点二：特征函数与极限** **例2：** 设 \(\{f_n(x)\}\) 是定义在区间 \([a, b]\) 上的一列函数，令 \[E \subset [a, b]\] 且 \[\lim_{n \to \infty} f_n(x) = \chi_{[a, b] \setminus E}(x), x \in [a, b].\] 其中 \(\chi_A(x)\) 表示集合 \(A\) 的特征函数，若 \(x \in A\)，则 \(\chi_A(x) = 1\)；若 \(x \notin A\)，则 \(\chi_A(x) = 0\)。求证 \[\lim_{n \to \infty} E_n = [a, b] \setminus E,\] 其中 \[E_n = \{x \in [a, b] : f_n(x) \geq \frac{1}{2}\}.\] **证明：** 1. 对于任意的 \(x \in [a, b] \setminus E\)，由题意知 \(\lim_{n \to \infty} f_n(x) = 1\)，这意味着存在 \(N\) 使得当 \(n \geq N\) 时，总有 \(f_n(x) \geq \frac{1}{2}\)，即 \(x \in E_n\)。 2. 反之，对于任意的 \(x \in E\)，有 \(\lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0\)，因此对于任意的 \(n\) 总存在 \(f_n(x) < \frac{1}{2}\)，即 \(x \notin E_n\)。 3. \(\lim_{n \to \infty} E_n = [a, b] \setminus E\)。 --- **知识点三：函数与集合间的映射** **例4：** 设 \(f : X \to Y\) 为函数，\(A \subset X, B \subset Y\) 为集合，证明： 1. \(f^{-1}(Y \setminus B) = f^{-1}(Y) \setminus f^{-1}(B)\)； 2. \(f(X \setminus A) = f(X) \setminus f(A)\)。 **证明：** 1. **对于第一个结论**，首先证明 \(f^{-1}(Y \setminus B) \subset f^{-1}(Y) \setminus f^{-1}(B)\)。设 \(x \in f^{-1}(Y \setminus B)\)，则 \(f(x) \in Y \setminus B\)，即 \(f(x) \in Y\) 且 \(f(x) \notin B\)，因此 \(x \in f^{-1}(Y)\) 且 \(x \notin f^{-1}(B)\)，从而 \(x \in f^{-1}(Y) \setminus f^{-1}(B)\)。反之亦然，可得等式成立。 2. **对于第二个结论**，首先证明 \(f(X \setminus A) \subset f(X) \setminus f(A)\)。设 \(y \in f(X \setminus A)\)，则存在 \(x \in X \setminus A\) 使得 \(f(x) = y\)。因为 \(x \in X\)，所以 \(y \in f(X)\)；又因为 \(x \notin A\)，所以 \(y \notin f(A)\)，从而 \(y \in f(X) \setminus f(A)\)。反向同样可以证明，得到等式成立。 以上是关于《实变函数论》中部分习题的解答与解析。通过对这些习题的解答，不仅能够帮助读者巩固基础知识，还能提高解决实际问题的能力。