【实变函数论】是数学领域的一个重要分支，主要研究实数集合的性质以及与之相关的函数。在给出的文档中，涉及了实变函数论的一些基础理论和证明，包括矩阵运算、集合论和极限定理。以下是这些知识点的详细说明：
1. **矩阵乘法的逆与单位矩阵**：
- 证明了矩阵乘法的逆矩阵性质：\( (BA)^{-1} = A^{-1}B^{-1} \) 的充要条件是 \( AB = I \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。这个性质是线性代数的基础，用于解决矩阵方程等问题。
- 另外，还证明了 \( cAB = BA \) 的充要条件是 \( B = \emptyset \)（空集），这里 \( c \) 是一个标量。
2. **De Morgan定律**：
- De Morgan定律是集合论中的重要规则，它表明集合的补集运算与并集和交集的关系。文档中证明了De Morgan定律的第二式：\( \complement(A \cap B) = \complement A \cup \complement B \)。这在逻辑推理和集合操作中非常有用。
3. **集合序列的单调性和极限**：
- 定理9描述了单调上升集合序列的极限行为：如果集合序列 \( A_1 \subseteq A_2 \subseteq \ldots \) 单调上升，那么其并集的极限是 \( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \)。这个定理对于理解无限集合的构造和分析函数的定义域非常重要。
4. **集合的运算性质**：
- 证明了\( (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \) 的充要条件是 \( B \neq \emptyset \)，这是矩阵乘法的另一个重要性质。
5. **应用问题**：
- 文档中还提出了一道应用题目，涉及集合的构建和求解。这个问题要求根据特定条件确定集合 \( F_A \) 的值，但具体的解答过程并未给出。
通过这些证明和例子，我们可以看到实变函数论不仅涉及抽象的数学概念，也紧密联系着实际问题的解决。它要求严谨的逻辑推理和深入的理解，是数学分析和后续高级课程的基础。
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