《实变函数与泛函分析》答案

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郑维行版本 希望能有所帮助 《实变函数与泛函分析》课后答案
20多年来,我们在南京大学数学系讲授实变函数和泛函分析这两门课程 多次使用了教材《实变函数与泛两分析概要》(郑维行、王声望编)和教材《抽 象分析基础》(宋国柱、曹祥炎编),并参阅了其他教枋和专著,积累了这两门课 程习题的各种典型解法,在这一基础上,为了帮助读者学好这两门课程,我们编 写了这本学习参考书,系统总结了实变函数、泛函分析中的基本概念、基本定理 和典型方法,并在各章附上一定数量的练习题及解法提示,同时还收编了部分 “南京大学攻读硕土学位研究生人学考试实变函数试题”,并作了解答,对读者复 习实变函数极有参考价值 本书编写过程中得到了郑维行教授、王声望教授和苏维宜教授等的帮助与指 教,在此谨对他们致以衷心的感谢.由于作者水乎所限整理时间仓促,书中错 误在所难免,所做的解答也未必是最好的,我们恳切地希望读者批评指正 编者 2002年I0月于南京 录 第一篇《实变函数与泛函分析概要》 题与解答 第一章集与点集 第二章勒贝格测度…………… 唱中■■■國■唱@中口■■●■看中■■■ 第三章可测函数 …………………………30 第四章勒贝格积分 42 第五章函数空呵L户 ■■即■↓4口■画画着暑郾着■4■“■道 ■■画L■品L晶↓晶山 第六章距离空间… ■■■1晋晶■_备■矗 4493 第七章赋范线性空间及线性算子…… 第八章希尔伯特空间及其自伴算了 159 第二篇《抽象分析基础》 习题与解答 第一章集、直线上的点集 …………………………185 第二章勒贝格测度 9E 第三章可测函数 第四章勒贝格积分 ■■■■國■』昌·■L画晶Lb· 222 第五章距离空间·赋范线性空间……-………………………………252 第六章线性算子和线性泛函 277 参考文献 …309 附录南京大学攻读硕士学位研究生入学考试实变函数试题选解 1981~1985年,1995年 ……310 第一篇《实变函数与泛函分析概要》 习题与解答 第一章集与点集 基本概念和主要定理 集的对等设A,B为两个集,若存在A到B上的一一映射f,则称A与B对 等,记作A~B 集的势将所有的集分类,凡彼此对等的集归于一类,不对等的集归于不同的 类,每一类均赋予-个标志,称为该类中每个集的势(或基数),集A的势记为A 若A对等B的子集,但A与B不对等,則称A的势小于B的势记作A<B 或B>A 定理1(伯思斯坦( Bernstein)定理)若A对等B的子集(即A≤B),且B对 等A的子集(即B≤A),则A与B对等(即A=B) 定理2设A为集,A的—切子集所组成的集类记为,则W>A 可列集凡与自然数集N对等的集,皆称可列集,可列集的势记为S 任何无限集均含有可列的子集; 可列集的任何无限子集仍是可列集; 有限个乃至可列个可列集的并集是可列集; 两个可列集A1,A2的积集 A1×A2=(x,y)x∈A1,y∈A2 为可列集; 有理数集、平面上的有理点集皆是可列集 连绩集凡与区闯[0,1]对等的集.皆称连续集,连续集的势记为皆,容易证明 38<3 定理3(等势定理)若A为无限集,B为可列集或有跟集,则 UB=4 无理数集的势为;R中的任何区间,R中的纤何区城的势均为次 开集、闭集及其构造设ECRn (Ⅰ)若存在点a的某个邻城∪(a),使得UJ(a)CE,则称a为E的内点; (2)若E的每点均为E的内点,则称E为开集 第一篇《实变数与泛函分析概媐》习题与解答 (3)若点a的一邻域中均含有E的无限多个点,则称a为E的聚点; (4)E的一切聚点所成之集称为E的导荣,记为E'; (5)若E'CE,则称E为闭集; (6)若ECE,则称E为自密集; (7)若E=E则称E为完全集 任意个开集的并集是开集 有限个开集的交集是开集; 任意个闭集的交集为闭集; 有限个闭集的并集为闭集; 闭集的补集是开集,开集的补集是集 定理4(一维开集的构造)直线上任一非空开集G可表成至多可列个互不 相交的开区间(称作G的构成区间)之并 U(ar, 3+) 定理5直线上的非空闭集F,或是全直线,或是从直线上挖掉至多列个互不 相交的开区间(称F的余区间所得之集 托尔( Cantor)集P是势为、且不含内点的完全集 集的序和极大元设X为一集 (1)若在X中规定了某些元素之间的关系≤,它满足序公理: i)a≤a; (i)若a≤b,b≤,则a=b; (i)若a≤b,b≤c,则a 则称X为带有序≤的半序集 (2)设X为带有序≤的半序集,若对X中任何两个元素a,b,关系式a≤b与 b≤a中必有一个成立,则称X为全序集 (3)设X为半序集,X0为X的子集,若存在b∈X,使得对一切x∈X0有x ≤b,则称b为X0的上界;设6是X0的上界,如果对X0的任一上界b′,均有b ≤b,则称b为X的上确界:当b是X0的上界(下界)且b∈X0,则称b为X0的 最大元(最小元 (4)设X为半序集,X0X,的∈X0对一切x∈K0有x≤b或者x与b无关 系,则称b为X0的极大元 定理6(佐恩〔ne)引理)设X为非空半序集,若X的每一非空全序子集 有上确界,则X有极大元 定理7(选择公理)设=A是一族可不相交的非空集组成的集族,则存 在满足下面两个条件的集E 第一章集与点集 (1}Ec∪A; (2)E与J中每一个集有性一公共元素 二、习题、练习题与解法 1.证明下列关系 (i)(A-B∩(C-D)=(A∩C}-(BD) 证法1x∈(A-B)∩(C-D)分x∈A-B且x∈C-D台x∈ B,x∈C,x¥D台x∈A∩C,x∈BD学x∈(A∩C)-(BUD)于是,所给 等式成立 证法2 (A-B)∩(C-D)(A∩e)∩(C∩D) A∩()∩(B∩绝D A∩C)∩(B∪D) (A∩C}-(BUD) (i)(A∩B)C=(AC)∩(BuC) 证x∈(A∩B)∪C台x∈A∩B或x∈Cx∈A且x∈B,或x∈C台 c∈AUC且x∈BUC台x(A∪C)(B∪C) 于是,所给等式成立 i)A-(B-CC(AB)U 证法1x(A(B-C)→x∈A,x∈B·C→x∈A,xR或x∈A,x∈ B,x∈C→x∈A-B或xC→x∈(A-B儿C 由x的任意性,包含关系得证 证法2 A-(B-C)=A∩欲B∩省) A∩(B∪C)=〔A∩B)U(A∩C) C(A∩邰)∪C=(A-B)UC (iv)(A-B)(C-()U(D-B 证 (A-B}-(C-D)=(A∩eB)∩邰C∩6D) (A∩铘)∩(∪D) (A∩eB∩6}U(An (A∩C)∪(B∩D) (A-C)∪(D-B). (v)(A-B)∪C=A-(B-C)成立的充要条件是什么? 第一篇《实变函数与泛函分析慨要》题与解答 证由(i)知,等式右边=(A-B)U(A∩C),左边=(A-B)∪C,可见A ∩C=C,即CA是等式成立的充分条件 下证CCA世是等式成立的必要条件 用反证法,假设CqA,则有x∈C且x日A,从而xA-B且xEA∩C,于 足,x(A·B)(A∩C).而xC(A-B)C故等式不成立 .设给出集E与任意一组集Aa∈I,向关系式 EU(∩Aa)=(E∪A2) 是否恒成立? 解上式恒成立.事实上, x∈左边→x∈E或x∈∩A→>xCE ∈ 或x∈A(Va∈I)→x∈E∪A(a∈) xf∩(E∪Aa)→x∈右边 E 反之,x∈右边→x∈EUA(a∈) 若x∈E,则x∈EU(∩An) 若x∈E则x∈A2(Ya∈I),从而x∈∩A a七 c∈左边 3.设A=10,1,试证一切排列(a1a2,…,an,…),an∈A所成的集的势为 证把一切排列与二进小数作对应 )+0.a1a2 ∈A=}0,1 因二进小数{0.a142…an…an∈A}与[0,1]对等,故其势为,从而一切排列的势 4.试作下列各题中集合间的一一对应: (i)[0,1]与(0,1); i}[a,b}与(-∞,∞); (i)开上半乎而与单位圆, 解(i)设(0,1)中的有理点的全体为{r2,r2,…,rn,…},则[0,1]中的有理点 的全体为:,1,rt,r2,…,rn,…|,作对应 0·1,1“↓r2,r 理+2 再让(0,1)中的无理点与[0,1中的无理点自身对应,这样就建立了0,1]与(0,1 回的一一对应 (i)先建立[a,b]与(a,b)间的一一对应(方法同(i)),再作(a,b到( ∞x)的映射 算章集与点集 y= tan ∈(a,b) 这样就建立了[a,6]与(一∞,∞)间的一一对应 (i)据复变函数的知识,映射v 实现了开上半平面与单位圆间的 对应 5.下列各集能否同自然数集或[0,1]构成一一对应 ()以有理数为端点的区间集; (i)闭正方形[0,1:0,1 如果可能,试作这种对应方法 解(i)以有理效为端点的区间集能同自然数集构成一一对应,方法如下 设有理数的全体为1,m2,r3,…},A,表示以r和r(r;<r)为端点的区间, 则以有理数为端点的区间全体为 A A A A A 252 A 45 将这些区间排列成:A12,A13,A23,A14,A24,A34,…,便建立了以有理数为端点的 区间集与自然数集的一一对应 (i)闭正方形[0,1;0,1与[0,1]能构成一一对应,方法如下 把闭正方形分解为互不相交的三部分 A=|(x,y):0 B=(0,y):0≤y≤1} C=}(x,0):0<x≤1 (1}首先建立A=(x,y)}:0<x≤1,0<y≤1与半闭区间(0,1]的一一对 应 若把某一位起后面全是0的二进小数叫做二进有限小数,否则称二进无限小 数,那么,(0,1中的实数与二进无限小数是一一对应的 对二进无限小数0.a1a2…an…(有无穷多个a;为1),我们这样给它加括号, 使得每个括号中只有最后一个数码为1,前的数码全为0例如,二进无限小数 0.I0110001001… 加括号成0.(1)〔01)(1)(0001)(001)…,记作为 12445 显然,每个二进无限小数,均可加括号成为一个这样的符号序列0.a12…n…; 6 第一篇《实变函效与泛函分析慨要》习题与解答 反之,每个这样的符号序列均可去掉括号成为一个二进无限小数 对何个(x,y)∈A,把x,y均表为二进无限小数,并加括号成符号序列 T=0.G10 令t=0.1a"1a2a"2…am"n…,再去掉这个符号序列的括号,便得到一个二进无限 小数,从而确定了一个实数t∈{0,11 反之,对于每个t∈(0,1,把t表为二进无限小数,并加括号成符号序列 令x=0 2n-1”,y 0.a2a4…G2…,并去掉这两个符号序列的括号,便得 到两个二进无限小数,从而确定了一点(x,y)∈A (2)建立闭正方形在y轴上的点集尸=(0,y):0≤y≤1}与区问「-1,01的 对应 这是容易的,只要令y=t+1,t∈[1,0] (3)建立C={(x,0):0<x≤1与区间(1,2的一—对应 这也是容易的,只要令x=t-1,t∈(1,2] 综合(1)、(2)、(3)我们姓立了闭正方形[0,1;0,1与闭区间[一I,2]的一一对 应,再作-12到[0,1的线性映射y=1(x+1),x∈[-1,2]就完成了 6.证明整系数多项式全体是可列集 证设n次整系数多项式为 an十12 由整数集Z的可列性知零次整系数多项式的全体Pb=:p(x)=a0,a0∈为可 列集,又据可列个可列集之并为可列集,可知一次整系数多项式的全体 p(x}=a0+akx;a0,a1∈Z,a1≠ 为可列集依此由数学归纳法可让得n次整数多项式全体P为可列集,而一切整 系数多项式所成之集P又是可列个可列集之并 从而是可列的 7.设C[0,1表示[0,1]上一切连续函数所成的类,试证它的势为 证先证明仝体实数列所成子集H对等于(0,1).设H的子集 B={x=(x1,x2,…,xn,…):xn∈(0,1),n=1,2,…}, 作B到H的映射g pp(x) tan l 2, π, tan T2 I,", tan In 显然φ是B到H的一对—映射,故H~B 下证B~(0,1)

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