实变函数复习题及答案

【实变函数复习题及答案】涉及的知识点主要包括实变函数的基本概念、性质以及相关证明。实变函数是数学分析中的重要分支，它研究的是定义在实数集或其子集上的实值函数。 1. **稠密性与可数性**： - 在题目中出现了稠密性和可数性的概念。稠密性指的是一个集合的极限点包含在其自身的闭包中。例如，有理数集在实数集上是稠密的，这意味着任何实数都可以被有理数序列无限接近。 - 可数性则指集合能够与自然数集建立一一对应关系。例如，有理数集是可数的，而无理数集则不可数，这涉及到著名的康托尔-戴德金定理。 2. **可测性与可积性**： - 可测函数是实变函数的基础，它们满足测度论中的可测性条件，允许我们对函数进行积分操作。 - 在题目中，提到了某些函数在特定区间上不是可积的，因为它们在某些点不连续，这些点的测度非零。而有界可测函数在任何区间上都是可积的。 - 可积性的判断通常涉及到函数在何处不连续，以及不连续点的测度是否为零。 3. **绝对连续性**： - 绝对连续性是指函数的微小改变可以由其导数的微小改变引起。题目中提到了积分的绝对连续性，即若函数在某区间上可积，那么其绝对值也是可积的，并且积分的绝对值等于原函数积分的绝对值。 4. **有界变差函数**： - 有界变差函数是指其图像可以被有限个垂直线段和水平线段所覆盖，且这些线段长度的总和是有限的。题目中通过构造函数展示了如何证明一个函数是具有有界变差的。 5. **连续性与可测性**： - 连续函数总是可测的，但可测函数并不一定连续。题目中通过例子说明了这一点，指出有些函数虽然在点上不连续，但仍然可测。 - 同时，存在在闭集上连续的函数，可以通过构造函数来证明。 6. **测度与积分的性质**： - 测度是衡量集合大小的一种方式，可以是零测度集（类似于点集）或正测度集。题目中涉及了通过分划证明函数的可积性。 - 积分的性质，如积分的绝对连续性，允许我们推断函数的积分特性。 实变函数复习题涵盖了函数的稠密性、可数性、可测性、可积性、绝对连续性、有界变差函数的概念以及它们之间的关系。解答这些问题需要深入理解实变函数理论，并能灵活应用相关定理和性质。