数学建模-CT系统标定与图像重建.pdf

摘要 为解决畃畔系统参数标定及成像问题，本文由相关理论基础入手，剖析模板形态学特征，以此为切入点建立并优化了标定模型，并且对根据未知介质进行图像重建，根据图形 特性实现了噪声去除。 针对问题一，我们根据基础理论知识，结合几何计算，得出标定模型在各个照射角度中的投影强度表达式，尝试通过函数拟合的方法求解。在扫描图中，圆和椭圆的投影函数相互耦合，为了更好的将其区分开，我们从图像处理的角度入手，通过高通滤波和形态学操作大致提取出椭圆曲线边界，利用其宽度信息粗略求出各次投影的角度。再利用粗测的角度，计算出圆的轨迹，挖去受圆形投影影响的数据点，以此来消除圆的投影函数对椭圆投影函数的影响，用剩下的数据对椭圆投影曲线进行拟合，得到了很好的效果，以较高的精度精确计算出畘光各次照射角度及其他标定相关的参数。 针对问题二、三，考虑到逆畒畡畤畯畮变化的卷积特性，首先使用线性插值得到新的图像作为逆畒畡畤畯畮变换的输入，再经由坐标变换，内插缩放、滤波变换等操作得到最终的介质吸收率分布图。 针对问题四，模型检验部分，我们从误差理论角度进行分析，研究标定模型的敏感性，并尝试人为引入噪声，验证模型的稳定性。在研究过程 ### 数学建模—CT系统标定与图像重建 #### 一、问题背景与理论基础 CT（Computed Tomography）即计算机断层成像是利用X射线透过物质时产生的衰减效应来实现非破坏性的三维成像技术。该技术通过一系列的X射线投影数据来重建目标物体内部结构的图像，在医学诊断、工业检测等多个领域具有广泛应用。 **理论基础：** 1. **X射线衰减原理：**X射线穿过物体时会发生衰减，衰减程度与物质的密度和厚度有关。 2. **投影数据采集：**通过固定位置的X射线源和平移或旋转的探测器收集不同角度下的投影数据。 3. **图像重建算法：**基于投影数据应用反投影、滤波反投影等方法重建图像。 #### 二、CT系统标定 **目的：**为了确保CT成像的质量，需要对标定模板进行精确测量，以校准系统的参数偏差。 **关键技术点：** 1. **投影强度曲线的建立与优化：** - 基础理论知识结合几何计算得出投影强度表达式。 - 函数拟合求解投影强度曲线。 - 圆形与椭圆形模板投影函数的区分： - 高通滤波提取椭圆边界。 - 形态学操作辅助边界提取。 - 宽度信息用于粗略估计角度。 - 圆形轨迹计算以去除影响。 2. **标定参数计算：** - 探测器单元间距计算。 - X射线入射角度的精确计算。 - 旋转中心位置确定。 **问题分析：** - **问题一：**建立数学模型，通过椭圆宽度的变化规律确定入射角度及旋转中心，进一步拟合椭圆和圆形的投影强度曲线，求解探测器单元间距、增益系数和入射角度。 - **问题四：**从误差理论出发，分析模型的敏感性和稳定性，通过引入噪声进行模型验证。 #### 三、CT成像 **关键技术点：** 1. **逆畒畡畤畯畮变换：**使用线性插值得到新图像作为输入，通过坐标变换、内插缩放、滤波等步骤得到最终的介质吸收率分布图。 2. **图像重建算法：**滤波反投影法等，通过对投影数据的处理实现图像重建。 3. **噪声去除：**基于图像特性实施噪声去除，提高图像质量。 **问题分析：** - **问题二、三：**利用逆畒畡畤畯畮变换重建图像，并通过滤波等方法去除噪声，确定未知介质的位置、几何形状与吸收率等信息。 #### 四、模型分析与改进 **关键技术点：** 1. **模型精度与稳定性分析：**通过误差理论分析模型的敏感性和稳定性。 2. **新模板设计：**针对特定角度精度下降的问题，设计“三角形”、“双椭圆”等新模板。 3. **模板选择与优化：**从合理性和稳定性两个方面考虑，选择最优模板。 **问题分析：** - **问题四：**设计新模板以提高模型的精度和稳定性，通过理论证明新模板的优越性。 ### 总结 本文围绕CT系统的标定与图像重建两大主题展开，通过理论分析和技术实践，解决了系统参数标定及成像过程中的关键问题。从投影强度曲线的建立与优化到图像重建算法的应用，再到模型分析与改进，每一步都旨在提高CT成像的质量和准确性。此外，通过引入新模板的设计和优化，进一步提升了模型的性能，为实际应用提供了有价值的参考。