2017年全国大学生数学建模竞赛论文展示（A053）.pdf
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2020-06-16
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平行束 CT 系统的参数标定及成像
摘要
CT 系统是利用 X 射线等线束对人体或样品进行扫描，根据被扫瞄样品的吸
收特性进行断层成像，被广泛应用于医学与工业领域。CT 系统安装时往往会产
生误差，本文研究的是平行束 CT 系统的参数标定及成像问题。
针对问题一，首先研究了探测器之间的距离，利用小圆在各个方向投影的
不变性，从附件二数据中总结出了小圆投影的三种典型情况，建立了探测器间
距与小圆直径的不等关系式，在最大误差不超过 1.57%的情况下，取探测器间
距为。其次研究了发射-接收系统与标定模板之间的相对运动。假设
发射-接收系统固定不动，选取小圆模板为研究对象，运用微元法，建立了运动
微分方程，求解得到小圆模板相对探测器平面的运动方程。根据椭圆模板的特
性以及微分方程的变化率，从附件二数据中选取了 3 个特殊点：椭圆长轴、短
轴方向以及变化率最低点，代入上述方程中求解出未知参数，由此解得旋转中
心相对于小圆模板的位置。以托盘几何中心为原点建立一个绝对坐标系，求解
得到的旋转中心在绝对坐标系的坐标为（ ）。之后利用寻找极
值与 prewitt 算子提取边缘的方法，提取出了 180 个小圆的位置，代入方程中
解得相应的旋转方向，范围为。最后，利用问题二的模型
对附件二进行图像重建，以此对标定参数进行再次修正，最终将旋转中心坐标
修正为（ ），旋转方向范围修正为。
针对问题二、三，首先利用第一问所求的旋转中心点的坐标，建立了投影
直角坐标系和投影极坐标系。利用滤波反变换方法，对原图进行了重建，利用
傅立叶变换和卷积滤波处理，消除了星型伪影的影响，利用线性插值和邻近插
值解决了坐标系间离散值转换的难题，利用双线性插值将图形放缩到
规模的图像，由此得到了重建的原图；再将重建的图像进行二值化处理，得到
类似于附件 1 的分布矩阵，并单独给出如椭圆中心点等特征点的位置信息，更
好标定位置。最后，将图像重建算法视为黑箱系统，研究附件二的输入数据与
输出图像灰度值的关系，以附件一为“吸收率”的基准，得出将原始数据作二
倍增益处理后，输出图像的灰度值与吸收率实现统一的规律。据此规律，将附
件 3 和附件 5 原始数据二倍增益处理后，进行图像重建，即得到吸收率。
针对问题四，首先对问题一的求解进行了误差分析，椭圆自身的特性限制
了求解精度的进一步提高。在保留小圆标定模板的基础上，本文设计了正方形
以及正六边形两种新型标定模板，可以在多个方向找到特征值，从而建立出超
定方程组，从而减小提取特征点的误差影响。如有相应的实验数据，可用遗传
算法等智能搜索算法进行寻优求解。
最后，我们对修正后的旋转中心坐标进行了检验。发现修正后的旋转中心
在探测器平面上的投影与探测器平面中心仅有的误差，几乎重合，这
个结论支持了本文的模型和结果。同时也求解出探测器平面在安装时相对于托
盘几何中心存在的误差。
关键词 CT 系统 平行束 参数标定 滤波反投影 标定模板
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