“数值分析 A”课程实验报告
姓 名：
学 号：
专 业：
授课教师： 刘圣军
学 期：
目 录
1.插值和逼近.........................................................................................................................1
键入章标题(第 2 级) ...........................................................................................................2
键入章标题(第 3 级).......................................................................................................3
2.数值积分 .............................................................................................................................4
键入章标题(第 2 级) ...........................................................................................................5
键入章标题(第 3 级).......................................................................................................6
3.线性方程组求解 ................................................................................................................4
键入章标题(第 2 级) ...........................................................................................................5
键入章标题(第 3 级).......................................................................................................6
4.非线性方程组的迭代解法...............................................................................................4
键入章标题(第 2 级) ...........................................................................................................5
键入章标题(第 3 级).......................................................................................................6
5.特征值和特征向量 ............................................................................................................4
键入章标题(第 2 级) ...........................................................................................................5
键入章标题(第 3 级).......................................................................................................6
附录 1 主要关键代码...........................................................................................................4
项目 1 插值与逼近
1.1 背景简介
在平面上有 共 n 个点，现作一条函
数 使其图像经过这 n 个点。作法：设集合 是关于点 的角标的集
合，
，作 n 个多项式 。对于任意 ，
都有 使得
是 n-1 次多项式，且满足 并且
。
最后可得 。
形如上式的插值多项式 称为拉格朗日（Lagrange）插值多项式。
例如：当 n=4 时，上面的公式可简化为：
这是一个过 4 个点的唯一的三次多项式。
多项式插值：用一个多项式来近似代替数据列表函数，并要求多项式通过列表
函数中给定的数据点。（插值曲线要经过型值点。）
多项式逼近：为复杂函数寻找近似替代多项式函数，其误差在某种度量意义下
最小。（逼近只要求曲线接近型值点，符合型值点趋势。）
多项式拟合：在插值问题中考虑给定数据点的误差，只要求在用多项式近似代
替列表函数时，其误差在某种度量意义下最小。
表列函数：给定 n+1 个不同的数据点（x0,y0）,(x1,y1)...,(xn,yn)，称由这
组数据表示的函数为表列函数。
逼近函数：求一函数，使得按某一标准，这一函数 y=f（x）能最好地反映这一
组数据即逼近这一表列函数，这一函数 y=f（x）称为逼近函数
插值函数：根据不同的标准，可以给出各种各样的函数，如使要求的函数 y=f
（x）在以上的 n+1 个数据点出的函数值与相应数据点的纵坐标相等，即 yi=f
（x1）（i=0，1，2....n） 这种函数逼近问题称为插值问题，称函数 y=f
（x）为数据点的插值函数，xi 称为插值点。
插值和拟合都是函数逼近或者数值逼近的重要组成部分
他们的共同点都是通过已知一些离散点集 M 上的约束，求取一个定义 在连续集
合 S(M 包含于 S)的未知连续函数，从而达到获取整体规律的目的，即通过"窥
几斑"来达到"知全豹"。
简单的讲，所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn}，通 过
调整该函数中若干待定系数 f(λ1, λ2,…,λ3), 使得该函数与已知点集的
差别(最小二乘意义)最小。如果待定函数是线性，就叫线性拟合或者线性回归
(主要在统计中)，否则叫作非线性拟合或者非线性回归。表 达式也可以是分段
函数，这种情况下叫作样条拟合。而插值是指已知某函数的在若干离散点上的
函数值或者导数信息，通过求解该函数中待定形式的插值函数以及待定系数，
使得该函数在给 定离散点上满足约束。插值函数又叫作基函数，如果该基函数
定义在整个定义域上，叫作全域基，否则叫作分域基。如果约束条件中只有函
数值的约束，叫作 Lagrange 插值，否则叫作 Hermite 插值。
从几何意义上将，拟合是给定了空间中的一些点，找到一个已知形式未知参数
的连续曲面来最大限度地逼近这些点；而插值是找到一个(或几个分片光滑的)
连续曲面来穿过这些点。
1.2 数学模型
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