### 偏微方程数值解中的分段二次基函数及其Matlab实现
#### 实验背景及意义
在科学计算领域，特别是在解决偏微分方程(PDEs)的数值方法中，基函数扮演着非常重要的角色。对于复杂的PDE问题，通过构建适当的基函数可以有效地简化求解过程。分段多项式基函数是一种常用的类型，它能够很好地逼近复杂形状的解，并且具有较高的计算效率。本实验将重点介绍如何使用Matlab编程来绘制分段二次基函数的图形，这对于理解和应用分段二次基函数解决实际问题具有重要意义。
#### 实验目标与要求
- **熟练使用Matlab软件**：掌握Matlab的基本操作和绘图功能。
- **熟悉分段函数的绘制**：理解分段函数的概念，学会在Matlab中实现分段函数的绘制。
#### 实验内容
实验要求绘制两种类型的分段二次基函数图形：
1. **函数1**:
- 当\[0 \leq x < t_{i-1}\] 或 \[t_{i+1} < x \leq 1\]时，\[f(x) = 0\]。
- 当\[t_{i-1} \leq x \leq t_i - 0.5h\]时，\[f(x) = 2((x - t_{i-1})/h)^2\]。
- 当\[t_i - 0.5h < x < t_i + 0.5h\]时，\[f(x) = -2((x - t_i)/h)^2 + 1\]。
- 当\[t_i + 0.5h \leq x \leq t_{i+1}\]时，\[f(x) = 2((x - t_{i+1})/h)^2\]。
2. **函数2**:
- 当\[0 \leq x \leq X_{i-1}\] 或 \[X_{i+1} \leq x \leq 1\]时，\[g(x) = 0\]。
- 当\[X_{i-1} \leq x \leq X_i - 0.5h\]时，\[g(x) = -(x - X_{i-1})^2 / (2h)\]。
- 当\[X_i - 0.5h < x \leq X_i\]时，\[g(x) = x - X_i + 3(x - X_i)^2 / (2h)\]。
- 当\[X_i \leq x \leq X_i + 0.5h\]时，\[g(x) = x - X_i - 3(x - X_i)^2 / (2h)\]。
- 当\[X_i + 0.5h < x \leq X_{i+1}\]时，\[g(x) = (x - X_{i+1})^2 / (2h)\]。
其中，\(h = 1/n\)，\(n\)是区间划分的个数；\(t_i\) 和 \(X_i\) 表示第 \(i\) 个节点的位置。
#### 实验环境与器材
- **软件工具**：Matlab 7.0。
- **硬件设备**：计算机。
#### 实验过程
1. **初始化变量**：首先定义变量 \(n\) 和 \(i\)，分别表示区间划分的数量和节点的位置。
2. **定义区间**：使用 `linspace` 函数生成区间内的点 \(x\)。
3. **编写循环**：通过循环判断 \(x\) 的值属于哪个区间，并根据相应的公式计算 \(y\) 的值。
4. **绘制图形**：使用 `plot` 函数绘制出分段函数的图形。
#### 实验代码示例
以下是函数1的Matlab代码示例：
```matlab
clc; clear
n=input('n=');
i=input('i=');
h=1/n;
y=zeros(10*n+1,1);
x=0:h/10:1;
t=linspace(0,1,n);
for j=1:(10*n+1)
if x(j)>=0 && x(j)<t(i-1) || x(j)>=t(i+1) && x(j)<1
y(j)=0;
elseif x(j)>=t(i-1) && x(j)<=t(i)-0.5*h
y(j)=2*((x(j)-t(i-1))/h)^2;
elseif x(j)>=t(i)-0.5*h && x(j)<=t(i)+0.5*h
y(j)=-2*((x(j)-t(i))/h)^2+1;
elseif x(j)>=t(i)+0.5*h && x(j)<=t(i+1)
y(j)=2*((x(j)-t(i+1))/h)^2;
end
end
plot(x,y,'-b')
```
函数2的Matlab代码与此类似，只需要修改函数的定义部分即可。
#### 实验结果与分析
当输入不同的参数 \(n\) 和 \(i\) 时，可以看到不同的分段二次函数图形。这些图形清晰地展示了分段函数的特点以及不同区间的函数变化趋势。
例如，当输入 \(n=10, i=7\) 时，可以得到第一个分段函数的图形。当 \(n=10, i=8\) 时，则会得到第二个分段函数的图形。通过对这些图形的观察，我们可以更好地理解分段二次基函数的特性及其在数值计算中的应用。
#### 结论
通过本次实验，我们不仅学会了如何使用Matlab绘制分段二次基函数的图形，更重要的是理解了分段函数的基本概念和在偏微分方程数值解中的作用。这为后续深入学习和研究偏微分方程的数值方法打下了坚实的基础。
