数学应用软件作业6用Matlab求解微分方程(组)的解析解和数值解归类.pdf

【知识点详解】 1. **Matlab求解微分方程(组)的解析解** - Matlab中的`dsolve`函数用于求解常微分方程的解析解。在第一题中，`dsolve('D3y-D2y-3*Dy+2*y', 'x')`就是使用这个命令来求解高阶线性齐次微分方程的。`Dn`代表对变量`y`关于`x`的n阶导数。 - 在第二题中，微分方程组被改写为适合`dsolve`的形式，然后调用`dsolve`求解。例如，`[x,y]=dsolve('Dx=5*cos(t)+2*exp(-2*t)-x-y', 'Dy=-5*cos(t)+2*exp(-2*t)+x-y' , 'x(0)=2,y(0)=0', 't')`。 2. **Matlab求解微分方程(组)的数值解** - 对于数值解，Matlab提供了多种数值积分方法，如`ode45`和`ode15s`。`ode45`是基于四阶Runge-Kutta方法，适用于大多数情况，而`ode15s`是求解 stiff方程的默认方法，更适合处理包含大时间常数差异的问题。 - 第三题中，两个程序`timu32.m`和`timu3.m`分别使用`ode45`和`ode15s`求解同一个一阶微分方程，然后用`plot`函数绘制出解的图形。 - `ode45`和`ode15s`函数的基本用法是`[T,Y]=ode45('function_name', [t0 tf], [y01, y02, ...])`，其中`function_name`是包含微分方程的M文件名，`t0`和`tf`是初始和终止时间，`[y01, y02, ...]`是初始条件。 3. **Matlab程序编写与图形显示** - Matlab程序通常由数据定义、函数定义和主程序组成。例如，`fun2.m`和`fun1.m`是包含微分方程的函数文件，而`timu32.m`和`timu3.m`则是调用这些函数并进行数值解计算的主程序。 - 使用`ezplot`或`plot`函数可以绘制出解的图形。例如，`ezplot('t + 1/exp(t)',[0,1])`画出解析解的图形，而`plot(T,Y(:,1),'+',T,Y(:,2),'*')`则用于显示数值解的点图。 4. **上机实验步骤** - 上机实验通常包括问题分析、求解方法选择、编写Matlab程序、运行程序获取结果、截图保存以及结果分析。在报告中，需要详细描述每一步骤，并附上程序截图以证明完成任务。 5. **Matlab程序截图与结果展示** - 结果展示部分，如题1给出了解析解的形式，题2展示了微分方程组的解，而题3和题4则通过图形对比了`ode45`和`ode15s`的解以及解析解与数值解的差异。 通过这个作业，学生可以深入理解微分方程的解析解和数值解的求解过程，同时掌握了Matlab在科学计算中的应用，包括微分方程求解、函数定义、数值积分以及图形绘制等关键技能。