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排队论及相关程序文件.doc
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排队论及相关程序文件.doc
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排队论
排队论又称随机服务系统,它应用于一切服务系统,包括生产管理系统、通信系
统、交通系统、计算机存储系统。它通过建立一些数学模型,以对随机发生的需求提
供服务的系统预测。现实生活中如排队买票、病人排队就诊、轮船进港、高速路上汽
车通过收费站、机器等待修理等等。
一、排队论的根本构成
〔1〕输入过程
输入过程是描述顾客是按照怎样的规律到达排队系统的。包括:
① 顾客总体:顾客的来源是有限的还是无限的。
② 到达的类型:顾客到达是单个到达还是成批到达。
③ 相继顾客到达的时间间隔:通常假定是相互独立同分布,有的是等间隔到达,
有的是服从负指数分布,有的是服从 k 阶 Erlang 分布。
〔2〕排队规那么
排队规那么指顾客按怎样的规定的次序承受服务。常见的有等待制,损失制,混
合制,闭合制。当一个顾客到达时所有服务台都不空闲,那么此顾客排队等待直到得
到服务后才离开,称为等待制。在等待制中,可以采用先到先服务,如排队买票;也
有后到先服务,如天气预报;也有随机服务,如服务;也有有优先权的服务,如危重
病人可优先看病。当一个顾客到来时,所有服务台都不空闲,那么该顾客立即离开不
等待,称为损失制。顾客排队等候的人数是有限长的,称为混合制度。当顾客对象和
服务对象一样且固定时是闭合制。如几名维修工人固定维修某个工厂的机器就属于闭
合制。
(3)服务机构
服务机构主要包括:服务台的数量;服务时间服从的分布,常见的有定长分布、
负指数分布、几何分布等。
二、排队系统的数量指标
(1)队长与等待队长
队长〔通常记为 〕是指系统中的平均顾客数〔包括正在承受服务的顾客〕。等
待队长〔通常记为 〕指系统中处于等待的顾客的数量。显然,队长等于等待队长加
上正在服务的顾客数。
(2)等待时间
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顾客的平均逗留时间〔通常记为 〕是指顾客进入系统到离开系统这段时间,包
括等待时间和承受服务的时间。顾客的平均等待时间〔通常记为 〕是指顾客进入系
统到承受服务这段时间。
(3)忙期
从顾客到达空闲的系统,服务立即开始,直到再次变为空闲,这段时间是系统连
续繁忙的时期,称之为系统的忙期。它反映了系统中服务机构工作强度,是衡量服务
系统利用效率的指标,即:
服务强度=忙期/服务总时间=1─闲期/服务总时间
闲期与忙期对应的系统的空闲时间,也就是系统连续保持空闲的时间长度。
三、排队论中的符号表示
排队论中的记号是 20 世纪 50 年代初由 D.G.Kendall 引入的,通常由 3~5 个字
母组成,形式为:
A/B/C/n
其中 A 表示输入过程,B 代表服务时间,C 代表服务台数量,n 表示系统空间数。
M-负指数分布;D-确定型; Ek-k 阶埃尔朗分布;GI-一般相互独立分布;G-一般随机
分布等。如:
(1) M/M/S/∞表示输入过程是 Poisson 流,即 ,服务时间服
从负指数分布,即 ;系统有 S 个服务台平行服务,系统容量为
无穷大的等待制排队系统。
(2) M/G/S/∞表示输入过程是 Poisson 流,服务时间服从一般概率分布,系统有
S 个服务台平行服务,系统容量为无穷大的等待制排队系统。
〔3〕D/M/S/K 表示顾客相继到达时间间隔独立、服从定长分布,服务时间服从负
指数分布,系统有 S 个服务台平行服务,系统容量为 K 个的混合制系统。
(4) M/M/S/S 表示输入过程是 Poisson 流,服务时间服从负指数分布,系统有 S
个服务台平行服务,顾客到达后不等待的损失制系统。
〔5〕M/M/S/K/K 表示输入过程是 Poisson 流,服务时间服从负指数分布,系统有
S 个服务台平行服务,系统容量和顾客容量都为 K 个的闭合制系统。
四、排队系统的主要数量指标
研究排队系统的目的是通过了解系统运行的状况,对系统进展调整和控制,使系
统处于最优运行状态。因此,首先需要弄清系统的运行状况。描述一个排队系统运行
状况的主要数量指标有:
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1. Pn:系统中恰好有 n 个顾客的概率,这 n 个顾客包括排队和正在被服务的顾客;在
系统里没有顾客的概率,即所有服务设施空闲的概率,记为 P0。
2. Pw 顾客到达系统时,得不到与时服务,必须排队等待服务的概率。
3. Ls 在系统里的平均顾客数,包括排队的顾客数和正在被服务的顾客数。
4. Lq 排队的平均长度,即排队的平均顾客数。
5. Wq 平均一位顾客花在排队上的时间。
6. Ws 平均一位顾客在系统里的平均逗留时间,它包括排队时间和被服务的时间。
7. Little
公式,
L=λW
。
λ
为单位时间到达的顾客数。
四、生灭过程与生灭过程排队系统
1. 生灭过程
生灭过程是一类非常简单具有广泛应用的一类随机过程,很多排队模型中都假设
其状态过程为生灭过程;这样的排队子系统如:M/M/C 和 M/M/C/R,我们也可称之为
生灭过程的排队系统。在这样的排队系统中,一个新顾客的到达看作“生〞,一个顾客
服务完之后离开系统看作是“灭〞,设 N(t)的任意时刻 t 排队系统的状态〔即排队子系
统中的总顾客数〕,那么对 M/M/C/K 系统 N(t)具有有限个状态 0,1,…,k,对 M/M/C 来
说 N(t)具有可列个状态 0,1,2…。
一般来说,随机过程 满足以下条件,称为生灭过程:
1) 假设 N(t)=n,那么从时刻 t 起到下一个顾客到达时刻为止的时间服从参数为
的泊松分布,n=0,1,2,…
2) 假设 N(t)=n,那么从时刻 t 起到下一个顾客离去时刻为止的时间服从参数为
的负指数分布,n=0,1,2,…
3) 同一时刻时只有一个顾客到达或离去。即只在相邻状态间转换。
• 一般来说,得到 N(t)的分布 Pn(t)=P{N(t)=n},n=0,1,2,…是比拟困难的,因
此通常是求当系统运行一段时间达到平稳状态后的状态分布,记为 Pn。
• 当系统运行长时间达到平稳状态后,对于任一个状态 n,单位时间进入该状态
的平均次数和单位时间离开该状态的平均次数应该相等,这就是系统的统计平
衡下的“流入=流出〞原理。
2. 生灭过程稳态方程
输入〔出〕率=某一稳态概率×平均转换率
由此可求得生灭过程的平稳状态分布:
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yunxidzh
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