圆中最值问题10种求法.doc

在圆中最值问题中，常常涉及几何性质和代数技巧的综合运用，下面将详细解析提供的10种求法。 1. **利用对称求最值**：在圆中，如果能够构造对称图形，通常可以找到使得某些线段和最小的情况。例如，题目中的例子通过延长线和构造对称点，找到了使PA+PC达到最小值的点P，此时PA+PC等于相应弦的长度。 2. **利用垂线段最短求最值**：在圆中，当一条线段与半径垂直时，这条线段是最短的。因此，若要寻找某个点到圆上点的最短距离，可以考虑构造垂线。例子中，PQ的最小值等于PA的最小值，而PA的最小值是当P在x轴上与A点的垂线段的长度。 3. **利用两点之间线段最短求最值**：在解决立体几何问题时，将立体图形展开为平面图形，可以方便地应用平面几何中的定理，如蚂蚁从点A到点D的最短路径，需要将圆锥侧面展开，然后利用直线比曲线短的原理求解。 4. **利用直径是圆中最长的弦求最值**：直径是圆中最长的弦，因此在某些问题中，通过构造直径，可以找到某些量的最大或最小值。例如，CQ的最大值出现在PC为直径的时候。 5. **利用弧的中点到弦的距离最大求最值**：在圆中，圆心到弦的垂线段是最长的，所以当点A位于弦BC所对优弧的中点时，△ABC的面积最大，因为此时高（即垂线段）最大。 6. **利用周长一定时，圆的面积最大求最值**：在周长固定的条件下，所有几何图形中，圆的面积最大。因此，用篱笆围成圆形场地的面积会大于围成其他形状（如正方形）的面积。 7. **利用判别式求最值**：在代数问题中，通过设定变量和建立方程，可以利用判别式来确定函数的最值。例如，OM+AB的最大值可以通过构造方程，利用判别式来求解。 以上7种方法只是圆中最值问题的一部分，实际上还有其他方法，如利用相似三角形、勾股定理、极化恒等式等。在解决这类问题时，关键在于灵活运用几何和代数知识，以及对圆的基本性质的深刻理解。通过不断练习和总结，可以提高解题效率和准确性。