专题7.3 立体几何中的最值问题-2019届高三数学提分精品讲义.doc

立体几何中的最值问题在高中数学中是一类重要的题型，主要涉及距离、面积、体积、角度等几何量的极值求解。这类问题通常基于规则几何体，如棱柱、棱锥、球等，要求学生具备良好的空间想象能力和精准的计算能力。解题策略通常包括函数法和开门见山法。 1. 函数法：这是解决最值问题的常见方法，特别是当问题涉及动态变化的情况时。将问题转化为目标函数，然后利用一次函数、二次函数、有界函数（如三角函数）或高阶函数的导数法来寻找最值。例如，对于两点间距离的最值，可以建立距离公式作为目标函数，然后通过求导找到极值点。 2. 开门见山法：这种方法依赖于几何体的结构特点和几何定理。例如，两点之间线段最短，异面直线的公垂线段最短，球面上两点间最短路径是过这两点和球心的平面所截圆的劣弧。如果直接构造函数较困难，利用这些定理可以直接找到最值。 3. 解不等式法：利用不等式性质和变量间的特定不等关系来求解最值问题，例如最小角定理可以建立不等式关系。 4. 展开图法：将几何体的表面或部分面展开成平面图形，使问题直观化，便于求解。这对于处理复杂的几何形状特别有效。 5. 变量分析法：深入理解几何体中动态和静态元素之间的关系，将问题转化为对某些线段或角度等的最值问题进行求解。 在处理立体几何体体积的最值问题时，如果底面积和高都不确定，可以设立变量，将体积表示为变量的函数，然后利用全然不等式或函数最值方法求解。对于球与棱柱、棱锥的接触和切割问题，常常通过作截面，将空间问题转化为平面图形与圆的问题，从而利用立体几何知识找到元素间的关系求解。 解题时，首先要全面分析所有条件，尝试使用公理和定义直接解决问题。如果不行，可以尝试转化为函数问题，再不行则考虑不等式关系，最后还可以考虑展开图形。通过这些策略，可以找到解答问题的途径。 以例1为例，正方体棱长为1，要求两点间的最小距离。通过构造辅助线，利用异面直线的公垂线性质，找到了距离的最小值为1。这展示了如何利用几何定理和直觉找到最值。 在实际应用中，不仅要注意距离问题，还要关注直线和立体、两立体间的距离等的最值问题。通过不断练习和理解，可以提高解题效率和准确性。在解题过程中，灵活运用各种方法，结合具体问题的特点，是成功的关键。