向量三点共线定理和延伸应用汇总
向量三点共线定理是数学中一个非常重要的概念,它有广泛的应用在解决几何问题中,例如“三点共线”“三线共点”等。下面我们将对向量三点共线定理进行详细的解释,并将其延伸应用于解决一些高考题。
一、向量三点共线定理
向量三点共线定理是指在平面中,三个点A、B、C共线的充要条件是:存在不全为零的实数m、n,使得向量OA、OB、OC满足以下关系:
OA = mOB + nOC
这里的O是平面上的任意一点,A、B、C是三个不同的点。这个定理有广泛的应用在解决几何问题中。
二、延伸应用
1. 如果O是平面上的任意一点,那么三个点A、B、C共线存在不全为零的实数m、n,使得:
OA = mOB + nOC
这里的O是平面上的任意一点,A、B、C是三个不同的点。
2. 如果点P落在由射线、线段与延长线围成的阴影区域(不含边界),且,则实数对(m、n)可以是:
A.(1、1)
B.(1、-1)
C.(-1、1)
D.(-1、-1)
解:根据向量加法的平等四边形法则与扩展定理,则:
OA = mOB + nOC
OA = OB + OC
因此,实数对(m、n)可以是C.(-1、1)。
三、推论
1. 推论一:向量OA和向量OB共线存在不全为零的实数m,使得:
OA = mOB
这实质是定理的另外一种表述形式。
2. 推论二:三个不同点A、B、C共线存在一组全不为零的实数m、n,使得:
OA = mOB + nOC
注意推论(二)与推论(一)的区别:推论(二)中均不为零向量,而推论(一)中,向量可能含零。
3. 推论三:设O、A、B三点不共线,且:
OA = mOB + nOC
x + y = 1
这里的x、y∈R,则P、A、B三点共线。
4. 推论四:设O为平面上的任意一点,则三个不同点A、B、C共线存在一组全不为零的实数m、n,使得:
OA = mOB + nOC
m + n = 0
5. 推论五:设O为平面上的任意一点,则三个不同点A、B、C不共线若存在实数m、n,使得:
OA = mOB + nOC
m + n ≠ 0
推论五实质是推论四的逆否命题。
6. 推论六:点P在ΔABO的部(不含边界)存在正实数m,使得:
OA = mOB
证:必要性:若点P在ΔABO的部(不含边界),则延长OP交AB于P1,过P作OA、OB的平行线,分别交OA、OB于M、N点,过P1作OA、OB的平行线,分别交OA、OB于M1、N1点。显然:
BN1 = NP1
AM1 = OP
其中显然BN1 > NP1。
7. 推论七:已知平面不共线向量OA、OB、OC,且:
OA = mOB + nOC
x + y = 1
这里的x、y∈R,则P点在直线上,P点在直线不含A点一侧,P点在直线与之间,P点在直线上,P点在直线不含直线一侧,P点在直线不含C点一例,P点在直线含C点一侧,P点在直线不含B点一侧,P点在直线含B点一侧。
证:设直线AP与直线BC相交于点P1,则设:
OA = mOB + nOC
x + y = 1
这里的x、y∈R,则P点在直线上,P点在直线不含A点一侧,P点在直线与之间,P点在直线上,P点在直线不含直线一侧,P点在直线不含C点一例,P点在直线含C点一侧,P点在直线不含B点一侧,P点在直线含B点一侧。
向量三点共线定理和延伸应用有广泛的应用在解决几何问题中,例如“三点共线”“三线共点”等。