平面向量基本定理是线性代数中的一个重要概念，主要应用于二维空间的向量分析。这个定理阐述了平面内任何向量都可以通过两个不共线向量的线性组合来表示，并且这种表示是唯一的。这为解决平面几何问题提供了有力的工具。
我们来理解向量的基本概念。向量具有大小（或模）和方向，可以用来描述空间中的位置变化或者力的作用。在二维空间中，向量通常用带箭头的线段表示，箭头的方向代表向量的方向，线段的长度代表向量的模。
平面向量基本定理的核心内容是：在同一平面内，如果有两个不共线的向量a和b（即它们不是平行的），那么该平面内的任何向量c都可以唯一地表示为这两个向量的线性组合，即c = λ1a + λ2b，其中λ1和λ2是两个实数。这里的"不共线"确保了a和b构成一组基底，也就是说，任何其他向量都可以由这个基底唯一地表示出来。
定理的证明通常基于几何直观，例如通过构造平行四边形或菱形。例如，假设我们要表示向量c，可以画一个以a和b为邻边的平行四边形，那么c就可以看作是平行四边形对角线中与a和b不平行的那一边。通过延长或缩短a和b，可以找到一对实数λ1和λ2，使得λ1a + λ2b恰好等于c。
这个定理的应用广泛，例如在几何问题中，我们可以利用它将复杂的向量表示简化。例如，给定两个向量a和b以及向量c = -2.5a + 3b，我们可以通过作图来直观地构造出c。或者在四边形ABCD中，若知道对角线AC和BD的向量表示，我们可以用它们来表达各边的向量，从而解决相关的问题。
在实际解题中，经常会遇到类似的问题，例如求解向量的表示、证明向量关系等。例如，题目中提到的例三证明了+++=4，这是通过向量的线性组合和三角形法则完成的。而例四则是一个将变量t表示为两个已知向量线性组合的例子。
平面向量基本定理是解析和解决平面几何问题的关键，它不仅连接了代数和几何，也为解决更复杂的空间问题奠定了基础。通过深入理解和熟练应用这个定理，学生能够更好地理解和处理涉及向量的问题，这对于进一步学习线性代数和更高维度的向量理论至关重要。在学习过程中，不断练习和应用这个定理，能够提高解题能力，同时也能培养良好的空间思维和抽象思维能力。
