合工大第五章树习题参考解析算法

树习题参考解析算法 在计算机科学中，树是一种非常重要的数据结构，它广泛应用于各种领域，例如计算机网络、数据库系统、编译器设计等。树习题是计算机科学中的一种典型习题类型，旨在考察学生对树的理解和应用能力。在这篇文章中，我们将对树习题进行详细的解析和分析，并提供相关的算法思路和解决方案。 树的基本概念 在讨论树习题之前，我们需要了解树的基本概念。树是一种非线性数据结构，它由一个结点集合组成，每个结点都可以拥有零个或多个子结点。树的每个结点都有一个值，称为键值，树的结构可以用来描述一个层次结构，例如文件系统、组织结构等。 树的种类 树有多种类型，例如二叉树、 AVL 树、红黑树等。二叉树是一种特殊的树，每个结点最多有两个子结点。AVL 树是一种自平衡的二叉搜索树，它可以保持树的平衡性，从而提高搜索效率。红黑树是一种自平衡的二叉搜索树，它可以保持树的平衡性，并且可以在 O(log n) 时间内完成搜索操作。 树习题类型 树习题可以分为多种类型，例如： 1. 树的遍历：给定一棵树，要求遍历树的所有结点，并输出结点的值。 2. 树的搜索：给定一棵树和一个关键字，要求搜索树中是否存在该关键字。 3. 树的插入和删除：给定一棵树，要求插入或删除一个结点，并保持树的结构完整。 4. 树的遍历和搜索：给定一棵树，要求遍历树的所有结点，并搜索指定的关键字。 树习题解析 下面，我们将对五道树习题进行详细的解析和分析。 5.1 画出由 4 个结点所构成的所有形态的树 【解】可以构成 4 棵不同形态的树，如下图所示。 5.2 已知一棵树的度为 4，其中度为 4 的结点的数目为 3，度为 3 的结点的数目为 4，度为 2 的结点的数目为 5，度为 1 的结点的数目为 2，请求出该树中的叶子结点的数目。 【解】设度为 4、3、2、1、0 的结点数分别为 n4、n3、n2、n1、n0，结点总数为 n，由此得方程(1)：n= n4+n3+n2+n1+n0 从根结点往树叶方向看，除了根结点外，每个结点接受 1 个分枝（1 条边），分枝总数为 n-1；从树叶往树根方向看，4 度结点发出 4 个分枝；3 度 3 个；2 度 2 个；1 度 1 个；叶子结点不发出分枝，即分枝总数为：4n4+3n3+2n2+n1。 树上的分枝树不管从哪个方向看分枝树是相同的，由此得方程(2)：n-1=4n4+3n3+2n2+n1 代入已知数，解方程得：n0=23，即叶子结点数为 23 个。 5.3 如果已知一棵二叉树有 20 个叶子结点，有 10 个结点仅有左孩子，15 个结点仅有右孩子，求出该二叉树的结点数目。 【解】二叉树只有度数 2、1、0 三种结点，设度为 2、1、0 的结点数分别为 n2、n1、n0，结点总数为 n，由此得方程(1)：n= n2+n1+n0 从根结点往树叶方向看，除了根结点外，每个结点接受 1 个分枝（1 条边），分枝总数为 n-1；从树叶往树根方向看，2 度结点发出 2 个分枝；1 度 1 个；叶子结点不发出分枝，即分枝总数为：2n2+n1。 树上的分枝树不管从哪个方向看分枝树是相同的，由此得方程(2)：n-1=2n2+n1 代入已知数，解方程得：n=64，即二叉树结点数为 64 个。 5.4 已知某完全二叉树有 100 个结点，试用三种不同的方法求出该二叉树的叶子结点数。 【解】 método uno：根据完全二叉树的性质，可以计算出第 100 个结点的父结点编号为 50，所以从 51 号到 100 号结点是叶子结点，共 50 个。 método dos：根据完全二叉树性质知此树高度为 7，且前 6 层构成高度 6 的满二叉树，共有 63 个结点，其中第 6 层有 32 个结点。最后一层剩下 37 个结点，全部为叶子结点，且他们要用掉第 6 层 19 个结点作为父结点，这样第 6 层剩下 32-19=13 个叶子结点，加起来叶子结点数为 37+13=50 个。 método tres：由 método dos 可知最后一层有 37 个结点，按完全二叉树要求，将有 1 个结点的度为 1，其它都是度为 2 和叶子结点，可以得方程：100=n2+n1+n0 100-1=2n2+n1 解得 n0=50，即叶子结点 50 个。 5.5 如果已知完全二叉树的第 6 层有 5 个叶子，试画出所有满足这一条件的完全二叉树，并指出结点数目最多的那棵完全二叉树的叶子结点数目。 【解】根据完全二叉树性质，第 6 层共有 32 个结点，除了 5 个叶子结点，剩下 27 个结点皆有孩子结点，其中此 27 个结点中最后一个可以只有左孩子结点，也可以有左右孩子结点，所以存在 2 中可能形态的完全二叉树。 结点数最多时，应该是第 7 层放 54 个结点，这样叶子总数为 59 个。 5.6 在编号的完全二叉树中，判断编号为 i 和 j 的两个结点在同一层的条件是什么？ 【解】 解法一：对于标号 i 的结点，我们只看前 i 个结点，也是一棵完全二叉树，高度为 1log 2 i。 编号 j 一样，以其为最后结点的完全二叉树的高度为为 1log 2 j。 如果 i、j 处于同一层，则上述 2 棵二叉树高等相等，即： 1log 2 j= 1log 2 i。 所以 i、j 处于同一层的条件为：i2log=i2log。 树习题是计算机科学中的一种典型习题类型，旨在考察学生对树的理解和应用能力。通过对树习题的解析和分析，我们可以更好地理解树的结构和应用，并掌握树的遍历、搜索、插入和删除等操作。