本科数学建模优秀论文1993年A题《非线性交调的频率设计》题目、论文、点评

### 本科数学建模优秀论文1993年A题《非线性交调的频率设计》知识点解析 #### 一、问题背景与意义 在通信工程领域，尤其是在人造卫星通信系统中，频率配置问题至关重要。例如，在卫星通信中，由于转发器的能量主要来源于太阳能，其功率受限，而行波管放大器的输入输出关系是非线性的。若要求放大器工作在线性区域，则会降低本已有限的输出功率。因此，为了最大化输出功率，必须克服非线性区域工作带来的问题之一——即由非线性幅度和相位引起的交调（Intermodulation）。 当非线性器件输入多个频率时，输出不仅包含原始频率，还会产生新的频率组合，这些组合称为交调频率。如果这些交调频率落在接收频带内，就会形成干扰。因此，在工程设计中，需要调整输入频率，确保交调不会成为干扰或者至少是弱干扰。1993年的本科数学建模竞赛A题正是围绕这一实际问题展开，旨在解决简化版本的频率设计问题。 #### 二、问题简化与分析 ##### 2.1 问题简化 为了简化问题，该题做出了一些假设： - 使用简单的输入输出特性模型； - 不考虑相位非线性； - 将信号个数减少到三个（而非实际中的几十甚至上百个）； - 只考虑二阶交调（通常情况下还需要分析更高阶的交调）； - 频率限制为整数解等。 这些简化有助于学生聚焦于核心数学问题，而不是被复杂的工程细节所困扰。 ##### 2.2 解决方案概述 针对该题，解决方案可以概括为以下几个步骤： 1. **建立输入输出关系**：通过给出的数据集，建立输入输出之间的数学模型。 2. **确定频率配置**：在给定的约束条件下，找到所有可能的频率配置。 3. **计算交调系数**：计算各个信号频率以及交调频率的系数振幅。 4. **评估信噪比**：基于计算结果，评估不同配置下的信噪比，选择最优解。 ##### 2.3 输入输出关系建立 - 使用二阶多项式来近似输入输出关系，因为题目已经暗示只考虑二阶交调。 - 基于给定数据进行回归分析，得到输入输出之间的数学关系式。 ##### 2.4 频率配置分析 - 根据输入输出关系式，分析不同输入频率组合产生的交调频率。 - 确定哪些交调频率需要避免出现在接收带内。 - 在满足约束条件的情况下，找出所有可能的频率配置。 ##### 2.5 信噪比计算 - 计算每个频率配置下的输出信号频率及其对应的交调频率系数。 - 根据给定条件，计算不同配置下的信噪比。 - 选择满足要求且信噪比最优的频率配置作为最终答案。 #### 三、案例分析 本文提供的部分案例分析展示了如何具体实现上述步骤： 1. **关系式的建立**：通过回归分析得到输入输出关系式。 2. **初步配置**：在频率约束条件下，筛选出满足条件的所有配置。 3. **信噪比计算**：利用数学工具计算每种配置下的信噪比，并选择最佳配置。 #### 四、结论与展望 1993年的本科数学建模竞赛A题通过对一个实际工程问题的简化，引导学生应用数学工具解决实际问题。通过本次分析可以看出，即使是在高度简化的模型下，数学建模也能有效地帮助理解并优化复杂系统的行为。未来的研究可以进一步探索如何将这些模型扩展到更复杂的实际情况中，如考虑更高阶的交调、更多的信号频率等，以解决更广泛的工程问题。