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随着计算机网络技术的迅猛发展,数字多媒体和信息通信技术也在不断进步,人们之间的信息交流呈现不断增长的趋势。数字图像具有可视化、形象化的特点,能承载文字所不能表述的语义,其在信息交流中的应用也越来越广泛。随着图像拍摄技术的发展及移动智能设备的普及,人们可以方便地获取具有较高分辨率的实时图像,并可以通过移动网络等介质实现图像的即时传输。但是,原始数字图像往往具有一定的信息冗余,如像素编码冗余、像素相关冗余等。因此,图像质量的提高也引起了传输数据规模的急剧扩大,给数字图像的存储和传输带来了很大的压力。图像压缩技术的研究目标就是能最大程度地分析原始图像的冗余信息,滤除不必要的数据量。因此,通过图像压缩技术来减小传输数据的规模,可以节省网络流量的损耗及存储空间,提高传输的速度和稳定性,实现信息的高效传输。图像压缩技术对于图像存储和传输的重要性也使得对图像压缩算法的研究成为一个非常活跃的领域。
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第 15 章 基于小波的图像压缩技术
177
基于小波的图像压缩技术
15.1 案例背景
随着计算机网络技术的迅猛发展,数字多媒体和信息通信技术也在不断进步,人们之间的
信息交流呈现不断增长的趋势。数字图像具有可视化、形象化的特点,能承载文字所不能表述
的语义,其在信息交流中的应用也越来越广泛。随着图像拍摄技术的发展及移动智能设备的普
及,人们可以方便地获取具有较高分辨率的实时图像,并可以通过移动网络等介质实现图像的
即时传输。但是,原始数字图像往往具有一定的信息冗余,如像素编码冗余、像素相关冗余等。
因此,图像质量的提高也引起了传输数据规模的急剧扩大,给数字图像的存储和传输带来了很
大的压力。图像压缩技术的研究目标就是能最大程度地分析原始图像的冗余信息,滤除不必要
的数据量。因此,通过图像压缩技术来减小传输数据的规模,可以节省网络流量的损耗及存储
空间,提高传输的速度和稳定性,实现信息的高效传输。图像压缩技术对于图像存储和传输的
重要性也使得对图像压缩算法的研究成为一个非常活跃的领域。
20 世纪 80 年代,在应用数学研究的基础上发展起来一门新兴的学科——小波分析,它是
众多高新技术发展的理论基础,被认为是现代傅里叶分析发展的一个里程碑,被誉为“数学显
微镜”,在图像处理、语音处理、模式识别、人工智能、地理勘探、航天动力学、金融学等领域
均有重要的应用。小波分析从数学的角度来看属于调和分析范畴,可以通过将某函数在指定小
波基空间进行分解或近似;从信号处理角度来看可以作为基于傅里叶变换理论发展起来的一种
有效的时频分析方法,将小波分析应用于数字图像信号,可以利用小波变换在时域和频域均具
有良好的局部化描述的特点,方便地表示图像的平滑区域和局部特征(如图像边缘)区域,并
具有多分辨率分解的特点。因此,基于小波分析的图像压缩编码已成为图像压缩研究领域的一
个重要方向。
计算机视觉与深度学习实战——以 MATLAB、Python 为工具
178
15.2 理论基础
图像压缩是数字图像处理的一个重要分支,它通过对原始图像所包含的数据信息进行某种
意义的编码来减少所需的数据量,进而达到节省图像存储空间、传输时间等目的。数字图像可
以被视为有效信息和冗余信息的组合。冗余可以分为数据冗余和视觉冗余等,基于数据冗余的
压缩是指在数字图像中存在大量的冗余数据可进行压缩编码,并且这种冗余在图像解压缩后可
以无损地恢复。基于视觉冗余的压缩以人的视觉影像为基础,在不影响人的主观视觉的前提下,
通过降低图像信号的数据精度,以一定的客观失真进行数据压缩。
基于小波变换的图像压缩是指对图像应用小波变换算法进行多分辨率分解,通过对小波系
数进行编码来实现图像压缩。其处理流程为:首先,对图像进行多级小波分解,得到相应的小
波系数;然后,对每层的小波系数都进行量化,得到量化系数对象;最后,对量化后的系数对
象进行编码,得到压缩结果。小波图像压缩是当前图像压缩的重要研究方向,已经在不同的领
域得到了广泛的应用,并形成了基于小波变换的国际压缩标准,如经典的 JPEG2000、MPEG-4
压缩标准。
基于小波变换的图像压缩主要针对的是离散化的数字图像矩阵,因此本节只对离散小波变
换进行研究。假设对一维连续小波
t
ab,
和连续小波变换
W a b
f
,
进行离散化,其中,
a
表示
尺度参数,
b
表示平移参数,在离散化过程中分别取
aa
j
0
和
bb
j
0
,其中,
jZ
,
a 1
0
,
则对应的离散小波函数如下:
aa
a
t a t kb
t ka b
o
j
jk
j
j
11
00
, 0 0
00
(
15.1
)
离散化的小波变换系数如下:
f t t t f
j k j k j k
C d , 0
. , ,
(
15.2
)
小波重构公式如下:
f t C t
j k j k
C
,,
(
15.3
)
式中,
C
为常数且与数据信号无关。根据对连续函数进行离散化逼近的步骤,选择的
a
0
和
b
0
越
小,生成的网格节点就越密集,所计算的离散小波函数
t
jk,
和离散小波系数
jk
C
,
就越多,数
据信号重构的精确度也越高。
第 15 章 基于小波的图像压缩技术
179
由于数字图像是二维矩阵,所以需要将一维信号的小波变换推广到二维信号。假设
x
是
一个一维的尺度函数,
x
是相应的小波函数,那么可以得到一个二维小波变换的基础函数:
x y x y,
1
x y x y
,
2
x y x y
,
3
由于数字图像是二维矩阵,所以一般假设图像矩阵的大小为
NN
,且
N
n
2
(
n
为非负
整数),经过一层小波变换后,原始图像便被分解为 4 个分辨率为原来大小四分之一的子带区域,
如图 15-1 所示,分别包含了相应频带的小波系数,这一过程相当于在水平方向和垂直方向上进
行隔点采样。
LL
1
HL
1
LH
1
HH
1
图 15-1 一次离散小波变换后的频率分布
在进行下一层小波变换时,变换数据集中在
LL
子带上。(15.4)式~(15.7)式说明了图
像小波变换的数学原型。
(1)
LL
频带保持了原始图像的内容信息,图像的能量集中于此频带:
f m n f x y x m y n
jj
, , , 2 , 2
22
0
1
(
15.4
)
(2)
HL
频带保持了图像在水平方向上的高频边缘信息:
f m n f x y x m y n
jj
, , , 2 , 2
22
11
1
(
15.5
)
(3)
LH
频带保持了图像在大垂直方向上的高频边缘信息:
f m n f x y x m y n
jj
, , , 2 , 2
22
22
1
(
15.6
)
(4)
HH
频带保持了图像在对角线方向上的高频边缘信息:
f m n f x y x m y n
jj
, , , 2 , 2
22
23
1
(
15.7
)
式中,
表示内积运算。
小波变换作为一种编码方式,属于有失真编码,针对信号的统计冗余进行压缩。对图像
进行小波变换的原理就是通过低通滤波器和高通滤波器对图像进行卷积滤波,再进行二取一
的下抽样。因此,图像通过一层小波变换可以被分解为一个低频子带和三个高频子带。其中,
低频子带 LL
1
通过对图像在水平方向和垂直方向均进行低通滤波得到;高频子带 HL
1
通过对
图像在水平方向进行高通滤波和在垂直方向进行低通滤波得到;高频子带 LH
1
通过对图像在
水平方向进行低通滤波和在垂直方向进行高通滤波得到;高频子带 HH
1
通过对图像在水平
计算机视觉与深度学习实战——以 MATLAB、Python 为工具
180
方向进行高通滤波和在垂直方向进行高通滤波得到。各子带的分辨率为原始图像的二分之
一。同理,对图像进行二层小波变换时只对低频子带 LL 进行,可以将 LL
1
子带分解为 LL
2
、
LH
2
、HL
2
和 HH
2
,各子带的分辨率为原始图像的四分之一。以此类推可得到三层及更高层
的小波变换结果。所以,进行一层小波变换得到 4 个子带,进行二层小波变换得到 7 个子带,
进行 x 层分解就得到 3·x+1 个子带。如图 15-2 所示为三层小波变换后的系数分布。
LL
3
HL
3
HL
2
HL
1
LH
3
HH
3
LH
2
HH
2
LH
1
HH
1
图 15-2 三层小波变换后的系数分布
通过对图像进行多层小波变换,可以得到不同特点的子带,包括能反映图像近似信息的低
频子带,能反映水平、垂直、对角线方向信息的高频子带,这也符合人类视觉系统对影像进行
空间方向分解的特性。对图像进行小波变换后可以得到频域信息,并按照其频谱能量与频率进
行分布排列,通过对频域平面量化器进行合理的非均匀化比特分配,对高能量区配置高比特数,
对低能量区配置低比特数,可以提高压缩原始数据的能力。对图像进行小波变换后可以将原始
图像的大部分能量集中在小波系数的少数部分,因此通过将阈值引入小波系数的量化过程,会
将高于阈值的部分保留,并将低于阈值的部分赋予常数,进而方便地实现对图像数据的压缩。
15.3 程序实现
小波变换是一种在时域和频域均能保持良好局部特性的分析方法,尤其适用于对非平稳信
号的处理。在一般情况下,对信号通过不同的小波基及尺度进行处理会产生不同的分析结果。
因此,应用小波变换进行图像压缩,一个非常关键的步骤就是选择小波基函数。常见的小波基
有:haar(Haar 小波)、db(Daubechies 小波)、dmey(Discrete Meyer 小波)、sym(Symlets 小波)、
coif(Coiflet 小波)、bior(Biorthogonal 小波)、rbio(Reverse Biorthogonal 小波)等,其中,Haar
小波是所有小波中最简单的,它是一个分段函数。Haar 函数的定义如下:
xΨ
x
他其
≤
≤≤
0
1 1 2 1
1 0 1 2
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