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蒙特卡罗算法与matlab(精品教程).doc
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第一章:Monte Carlo 方法概述
讲课人:Xaero Chang | 课程主页: http://macro2.org/notes/intro2mc
本章主要概述 Monte Carlo 的一些基础知识,另外包括一个最简单的用 Monte Carlo 方
法计算数值积分的例子。
一、Monte Carlo 历史渊源
Monte Carlo 方法的实质是通过大量随机试验,利用概率论解决问题的一种数值方法,
基本思想是基于概率和体积间的相似性。它和 Simulation 有细微区别。单独的 Simulation 只
是模拟一些随机的运动,其结果是不确定的;Monte Carlo 在计算的中间过程中出现的数是
随机的,但是它要解决的问题的结果却是确定的。
历史上有记载的 Monte Carlo 试 验 始于十八世纪末期(约 1777 年 ) , 当 时 布 丰
(Buffon)为了计算圆周率,设计了一个“投针试验”。(后文会给出一个更加简单的计算
圆周率的例子)。虽然方法已经存在了 200 多年,此方法命名为 Monte Carlo 则是在二十世
纪四十年,美国原子弹计划的一个子项目需要使用 Monte Carlo 方法模拟中子对某种特殊材
料的穿透作用。出于保密缘故,每个项目都要一个代号,传闻命名代号时,项目负责人之一
von Neumann 灵犀一点选择摩洛哥著名赌城蒙特卡洛作为该项目名称,自此这种方法也就被
命名为 Monte Carlo 方法广为流传。
十一、Monte Carlo 方法适用用途
(一)数值积分
计算一个定积分,如 ,如果我们能够得到 f(x)的原函数 F(x),那么直接由表
达式: F(x1)-F(x0)可以得到该定积分的值。但是,很多情况下,由于 f(x)太复杂,我们无法
计算得到原函数 F(x)的显示解,这时我们就只能用数值积分的办法。如下是一个简单的数值
积分的例子。
数值积分简单示例
如图,数值积分的基本原理是在自变量 x 的区间上取多个离散的点,用单个点的值来代
替该小段上函数 f(x)值。
常规的数值积分方法是在分段之后,将所有的柱子(粉红色方块)的面积全部加起来,
用这个面积来近似函数 f(x)(蓝色曲线)与 x 轴围成的面积。这样做当然是不精确的,但是
随着分段数量增加,误差将减小,近似面积将逐渐逼近真实的面积。
Monte Carlo 数值积分方法和上述类似。差别在于,Monte Carlo 方法中,我们不需要将
所有方柱的面积相加,而只需要随机地抽取一些函数值,将他们的面积累加后计算平均值就
够了。通过相关数学知识可以证明,随着抽取点增加,近似面积也将逼近真实面积。
在金融产品定价中,我们接触到的大多数求基于某个随机变量的函数的期望值。考虑一
个欧式期权,假定我们已经知道在期权行权日的股票服从某种分布(理论模型中一般是正态
分布),那么用期权收益在这种分布上做积分求期望即可。
(五)随机最优化
Monte Carlo 在随机最优化中的应用包括:模拟退火(Simulated Annealing)、进化策略
(Evolution strategy)等等。一个最简单的例子是,已知某函数,我们要求此函数的最大值,那
么我们可以不断地在该函数定义域上随机取点,然后用得到的最大的点作为此函数的最大值。
这个例子实质也是随机数值积分,它等价于求此函数的无穷阶范数( -Norm)在定义域上
的积分。
由于在金融产品定价中,这部分内容用的相对较不常见,所以此课程就不介绍随机最优
化方法了。
十二、Monte Carlo 形式与一般步骤
(一)积分形式
做 Monte Carlo 时,求解积分的一般形式是:
X 为自变量,它应该是随机的,定义域为(x0, x1),f(x)为被积函数,ψ(x)是 x 的概率密
度。在计算欧式期权例子中,x 为期权到期日股票价格,由于我们计算期权价格的时候该期
权还没有到期,所以此时 x 是不确定的(是一随机变量),我们按照相应的理论,假设 x 的
概率密度为ψ(x)、最高可能股价为 x1(可以是正无穷)、最低可能股价为 x0(可以是 0),
另外,期权收益是到期日股票价格 x 和期权行权价格的函数,我们用 f(x)来表示期权收益。
(二)一般步骤
我将 Monte Carlo 分为三加一个步骤:
1.依据概率分布ψ(x)不断生成随机数 x, 并计算 f(x)
由于随机数性质,每次生成的 x 的值都是不确定的,为区分起见,我们可以给生成的 x
赋予下标。如 x
i
表示生成的第 i 个 x。生成了多少个 x,就可以计算出多少个 f(x)的值
2.将这些 f(x)的值累加,并求平均值
例如我们共生成了 N 个 x,这个步骤用数学式子表达就是
3.到达停止条件后退出
常用的停止条件有两种,一种是设定最多生成 N 个 x,数量达到后即退出,另一种是检
测计算结果与真实结果之间的误差,当这一误差小到某个范围之内时退出。
有趣的类比:积分表达式中的积分符合类比为上式中累加符号,dx 类比为 1/N(数
学知识告诉我们积分实质是极限意义下的累加;f(x)还是它自己,积分中的ψ(x)可类比
为依据ψ(x)生成随机数
4.误差分析
Monte Carlo 方法得到的结果是随机变量,因此,在给出点估计后,还需要给出此估计
值的波动程度及区间估计。严格的误差分析首先要从证明收敛性出发,再计算理论方差,最
后用样本方差来替代理论方差。在本课程中我们假定此方法收敛,同时得到的结果服从正态
分布,因此可以直接用样本方差作区间估计。详细过程在例子中解释。
这个步骤的理论意义很重要,但在实际应用中,它的重要性有所淡化,倘若你的老板不
太懂这些知识,你报告计算结果时可以只告诉他点估计即可。
注意,前两大步骤还可以继续细分,例如某些教科书上的五大步骤就是将此处的前两步
细分成四步。
十三、最简单的例子
举个例子:
计算从 函数从 0 到 2 的定积分值 。
数学方法:我们已知 的原函数是 ,那么定积分值就是:
=6.38905609893065 。计算这个数值可以在 Matlab 中输入代码:
exp(2)-exp(0)
上面得到的值是此不定积分的真实值。
常规数值积分:在 区间内取 N 个点,计算各个点上的函数值,然后用函数值乘
以每个区间宽度,最后相加。Matlab 代码:
N=100;x=linspace(0,2,N);sum(exp(x).*2/N)
试着调大 N 的值,你会发现,最后的结果将更接近真实值。
Monte Carlo 数值积分法:在 内随机取 N 个点,计算各个点上的函数值,最后
求这些函数值的平均值再乘以 2(为何要乘以 2 在后面小节详细讲)。看 Matlab 代码:
N=100;x=unifrnd(0,2,N,1);mean(2*exp(x))
同样的,通过增大 N,这种方法得到的结果也将越来越接近真实值。
解释
这个例子要求的积分形式是: , 还不完全是 形式,我们先做变
换, ,这里 是 f(x);1/2 是ψ(x),它表示,在取值范围(0,2)区间内,x 服
从均匀分布。
前一例子共三条语句,逐句解释如下:
N=100;
设定停止条件,共做 N 次 Monte Carlo 模拟。
x=unifrnd(0,2,N,1);
按照(0,2)区间均匀分布概率密度对 x 随机抽样,共抽取 N 个 x
i
。此句相当于第一个步
骤中的前半部分。
mean(2*exp(x))
2*exp(x)作用是对每个 x
i
计算 f(x
i
)的值,共可得到 N 个值,这个相当于第一个步骤后半
部分;Mean()函数的作用是将所有的 f(x
i
)加起来取平均值,相当于第二个步骤。
这段代码中的停止条件隐含于 N 值设定中,它一次性生成 N 个 x 值,完成此次计算后
整个程序就结束了。
十四、Monte Carlo 方法的优点
对比前面常规数值积分和 Monte Carlo 数值积分代码,同样数量的 N 值——也就意味这
几乎相同的计算量——常规数值积分结果的精确度要高于 Monte Carlo 数值积分的结果。那
么,我们为何还需要用 Monte Carlo 来算数值积分呢?
答案的关键在于,常规数值积分的精度直接取决于每个维度上取点数量,维度增加了,
但是每个维度上要取的点却不能减少。在多重积分中,随着被积函数维度增加,需要计算的
函数值数量以指数速度递增。例如在一重积分 中,只要沿着 x 轴取 N 个点;
要达到相同大小的精确度,在 s 重积分
中,仍然需要在每个维度上取 N 个点,s 个纬度的坐标相组合,共需要计算 N
s
个坐标对应
的 f()函数值。取点越多,会占用计算机大量内存,也需要更长运算时间,最终导致这种计
算方法不可行!
Monte Carlo 方法却不同,不管是积分有多少重,取 N 个点计算的结果精确度都差不多。
因此,即使在一重积分的情形下,Monte Carlo 方法的效率比不过常规数值积分,但随着积
分维度增加,常规数值积分的速度呈指数下降,Monte Carlo 方法的效率却基本不变。经验
表明,当积分重数达到 4 重积分甚至更高时,Monte Carlo 方法将远远优于常规数值积分方
法。
现在回到金融产品定价,欧式期权理论定价公式只需要一重积分,此时 Monte Carlo 方
法的效果不明显,但是如果我们考虑一个亚式期权:期限为 1 年期,期权价格基于此 1 年内
每天某个时点时的价格,全年共 252 个交易日,这样此亚式期权理论定价公式是一个 252 重
积分。常规的数值积分方法,需要取 N
252
个点,这个数有多大,你自己去计算一下就知道
了(注意:N 取值要远远大于 2),常规数值积分方法不可行,只能用 Monte Carlo。
综上,如果计算高维度多重积分,如路径依赖的 exotic options(奇异期权)等金融产品
定价,我们一般用的方法都是 Monte Carlo。
十五、Monte Carlo 方法原理(选读)
Monte Carlo 方 法 计 算 的 结 果 收 敛 的 理 论 依 据 来 自 于 大 数 定 律 , 且 结 果 渐 进 地
(Asymptotically)服从正态分布的理论依据是中心极限定理。
以上两个属性都是渐进性质,要进行很多次抽样,此属性才会比较好地显示出来,如果
Monte Carlo 计算结果的某些高阶距存在,即使抽样数量不太多,这些渐进属性也可以很快
地达到。
这些原理在理论上意义重大,但由于我们一般遇上的 Monte Carlo 问题都是收敛的、结
果也都是渐进正态分布,所以工作中使用时可以不加考虑。
详细推导见相关书籍。
第二章:随机数的生成
讲课人:Xaero Chang | 课程主页: http://macro2.org/notes/intro2mc
本章第一节会简要复习随机变量的一些概念,但学习本章最好要有一定的数学基础。
第二节主要介绍如何生成一维概率分布的随机数,第三节介绍如何生成高维分布的随机
数。最后略提及伪随机数问题的应对策略。
由前文可知,Monte Carlo 积分解决的问题形如 ,f(x)值只需由 x 值决定,
因此此处最重要的就是如何生成服从ψ(x)概率分布的随机数。可以说,正确生成随机数,
Monte Carlo 方法就做完了一半。
一、随机变量基本概念
(一)随机变量
现实世界中有很多可以用数字来衡量的事物,站在当前时间点来看,它们在未来时刻的
值是不确定的。例如,我们掷一骰子,在它停稳前,我们不可能知道掷出多少点(传说中的
赌王除外,哈哈);例如某只股票在明天的股价,没有人能准确知晓第二天股票的价格(不
然他就发惨了!)。但是,我们却可以描述这些事物未来各种值的可能性。
(二)离散型随机变量
离散型随机变量最重要的是分布律,即每个取值的概率是多少。例如掷骰子,我们认为
扔出任何一个点的概率都是 1/6。那么掷骰子得到的点数的分布律如下表:
骰子点数
1
2
3
4
5
6
概率
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
(三)连续性随机变量
连续型随机变量有两个重要的概念。概率密度函数(PDF)和累积概率分布函数(CDF),
具体定义见数学书籍。
PDF 函数本身不是概率,只有对 x 的某段区间中的 PDF 积分得到的数值才有概率的含
义。CDF 是概率的意思,点 x 上 CDF 的值表示该随机变量可能取值小于 x 的概率的大小。
如图是正态分布的 PDF 和 CDF
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