蒙特卡罗算法与matlab教程.pdf
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2022-11-01
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第 一 章 ： M o n t e C a r l o 方 法 概 述
讲课人：Xaero Chang | 课程主页:
本章主要概述 Monte Carlo 的一些基础知识,另外包括一个最简单的用 Monte Carlo
方法计算数值积分的例子;
一、Monte Carlo 历史渊源
Monte Carlo 方法的实质是通过大量随机试验,利用概率论解决问题的一种数值方
法,基本思想是基于概率和体积间的相似性 ;它和 Simulation 有细微区别 ;单独的
Simulation 只是模拟一些随机的运动,其结果是不确定的；Monte Carlo 在计算的中间
过程中出现的数是随机的,但是它要解决的问题的结果却是确定的;
历史上有记载的 Monte Carlo 试验始于十八世纪末期约 1777 年,当时布丰 Buffon
为了计算圆周率,设计了一个“投针试验”;后文会给出一个更加简单的计算圆周率的
例子;虽然方法已经存在了 200 多年,此方法命名为 Monte Carlo 则是在二十世纪四十
年,美国原子弹计划的一个子项目需要使用 Monte Carlo 方法模拟中子对某种特殊材料
的穿透作用;出于保密缘故,每个项目都要一个代号,传闻命名代号时,项目负责人之一
von Neumann 灵犀一点选择摩洛哥著名赌城蒙特卡洛作为该项目名称,自此这种方法也
就被命名为 Monte Carlo 方法广为流传;
十一、Monte Carlo 方法适用用途
一数值积分
计算一个定积分,如 ,如果我们能够得到 fx 的原函数 Fx,那么直接由表达
式: Fx1-Fx0 可以得到该定积分的值;但是,很多情况下,由于 fx 太复杂,我们无法计算
得到原函数 Fx 的显示解,这时我们就只能用数值积分的办法;如下是一个简单的数值积
分的例子;
数值积分简单示例
如图,数值积分的基本原理是在自变量 x 的区间上取多个离散的点,用单个点的值
来代替该小段上函数 fx 值;
常规的数值积分方法是在分段之后 ,将所有的柱子粉红色方块的面积全部加起来 ,
用这个面积来近似函数 fx 蓝色曲线与 x 轴围成的面积;这样做当然是不精确的,但是随
着分段数量增加,误差将减小,近似面积将逐渐逼近真实的面积;
Monte Carlo 数值积分方法和上述类似;差别在于,Monte Carlo 方法中,我们不需要
将所有方柱的面积相加,而只需要随机地抽取一些函数值 ,将他们的面积累加后计算平
均值就够了;通过相关数学知识可以证明 ,随着抽取点增加 ,近似面积也将逼近真实面
积;
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