随机信号分析是信号处理领域中的重要概念，尤其在通信、控制和数据科学中占据核心地位。本课件主要讨论了随机信号通过线性系统时的分析方法，涵盖了时域和频域的分析技巧。
线性系统的基本理论指出，如果一个系统对任何输入信号x(t)的响应是线性的，即输出y(t)与输入x(t)成比例，并且系统对时间平移保持不变（时不变性），那么可以通过系统的冲激响应函数h(t)来描述输入和输出的关系。输入x(t)和输出y(t)之间的关系通过卷积运算建立，即y(t) = x(t) * h(t)，其中*表示卷积运算。
卷积定理是分析线性系统的重要工具。时域卷积定理说明，两个时间函数x(t)和h(t)的卷积在频域中表现为它们的傅立叶变换的乘积，反之亦然。频域卷积定理则表明，如果已知两个函数的傅立叶变换，可以通过它们的乘积再进行逆傅立叶变换得到时域的卷积结果。
当输入信号X(t)是随机过程时，线性时不变系统的输出Y(t)仍然是随机过程。特别是，如果输入是高斯过程，那么输出也将保持高斯特性。对于随机信号的分析，重点关注的是输出的统计特性，如数学期望、均方值、自相关函数和互相关函数。
1. 系统输出的数学期望是常数，对于物理可实现系统，输出的均值等于输入的均值乘以系统的冲激响应函数的积分。
2. 输出的均方值是输入均方值乘以系统冲激响应函数的平方积分。
3. 自相关函数的分析揭示，输入为宽平稳随机信号时，输出也是宽平稳的。对于物理可实现系统，输出自相关函数等于输入自相关函数与系统冲激响应的二次卷积。
4. 互相关函数用于衡量输入和输出之间的相关性。对于平稳过程，输入的自相关函数与系统冲激响应的卷积给出了输出的互相关函数。
5. 当系统输入包含多个随机过程（例如加性噪声）时，可以分析每个随机过程的独立贡献以及它们如何影响系统的总输出。
在频域中，随机信号通过线性系统时，关注的是功率谱密度。对于平稳输入过程，输出的功率谱密度可以通过输入的功率谱密度和系统的功率传输函数计算得出。此外，输入和输出间的互功率谱密度提供了关于系统特性的更多信息，有助于确定系统的传递函数。
随机信号通过线性系统的分析涉及时域和频域的方法，包括卷积定理、概率统计特性（如期望、均方值、自相关和互相关函数）以及功率谱密度的计算。这些理论和计算方法在理解和设计实际系统中具有广泛的应用价值。通过具体的例子和习题，学习者可以深入理解并掌握这些概念。
