《计算方法》课件：Ch3_2 向量范数和矩阵范数.ppt

"《计算方法》课件：Ch3_2 向量范数和矩阵范数.ppt" 本节内容提要向量的范数和矩阵范数的基本概念、常用的几种向量范数和矩阵范数、等价性、向量之间的距离等。 向量范数的概念： 向量范数是对向量的长度或大小的一种度量。它满足三个条件：非负性、齐次性、三角不等式。常用的向量范数有：p-范数、欧几里德范数、最大范数等。 p-范数的定义为： $$\|x\|_p = \left(\sum_{i=1}^n|x_i|^p\right)^{1/p}$$ 欧几里德范数的定义为： $$\|x\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n|x_i|^2}$$ 最大范数的定义为： $$\|x\|_\infty = \max_{1\leq i\leq n}|x_i|$$ 向量范数的等价性： 不同的向量范数之间满足某些等价关系。例如： $$\|x\|_\infty \leq \|x\|_2 \leq \|x\|_1$$ $$\|x\|_2 \leq \|x\|_1 \leq \sqrt{n}\|x\|_2$$ 向量之间的距离： 向量之间的距离可以用向量范数来定义。例如： $$d(x, y) = \|x - y\|$$ 矩阵范数的概念： 矩阵范数是对矩阵的大小或长度的一种度量。常用的矩阵范数有： Frobenius 范数、欧几里德范数、行和最大范数、列和最大范数等。 Frobenius 范数的定义为： $$\|A\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_{ij}|^2}$$ 欧几里德范数的定义为： $$\|A\|_2 = \sqrt{\lambda_{\max}(A^TA)}$$ 行和最大范数的定义为： $$\|A\|_1 = \max_{1\leq j\leq n}\sum_{i=1}^m|a_{ij}|$$ 列和最大范数的定义为： $$\|A\|_\infty = \max_{1\leq i\leq m}\sum_{j=1}^n|a_{ij}|$$ 矩阵范数的基本性质： 矩阵范数满足以下几个基本性质： * 非负性：$$\|A\| \geq 0$$ * 齐次性：$$\|cA\| = |c|\|A\|$$ * 三角不等式：$$\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$$ * 相容性：$$\|Ax\| \leq \|A\| \|x\|$$ 矩阵范数的应用： 矩阵范数有很多实际应用，例如在机器学习、数据分析、图像处理等领域。