基本不等式优化练习
本资源摘要信息对应的文件是高中数学第三章不等式3.4基本不等式：ab≤a＋b²优化练习新人教A版必修5，总共包含10道选择题和2道能力提升题，涵盖了基本不等式的各种应用和证明。
基本不等式的证明
基本不等式ab≤a²+b²是数学中一个重要的不等式，本质上是因为a²+b²≥2ab，证明过程如下：
假设a≥b＞0，则a²+b²=a²+2ab+b²-2ab≥2ab＞2ab。
假设a＜b＞0，则a²+b²=b²-2ab+a²＞b²-2ab+a²＞2ab＞2ab。
无论a和b的大小关系如何，基本不等式ab≤a²+b²总是成立的。
选择题解析
1．下列不等式正确的是( )
解析：因为a²＋1a²≥a²·1a²，即a²＋1a²≥1，所以a²＋1a²≥2。答案：C
2．已知m＝a＋1a＋1(a＞0)，n＝3x(x＜1)，则m，n之间的大小关系是( )
解析：因为a＞0，所以m＝a＋1a＋1≥2a·1a＋1＝3，当且仅当a＝1时等号成立．又因为x＜1，所以n＝3x＜31＝3，所以m＞n.答案：A
3．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为( )
解析：由x(3－3x)＝1/3×3x(3－3x)≤1/3×9/4＝3/4，当且仅当3x＝3－3x，即x＝1/2时等号成立．答案：B
4．已知f(x)＝x＋1x－2(x＜0)，则f(x)有( )
解析：∵x＜0，∴f(x)＝－［－x－1］－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝1－x，即x＝－1时取等号．答案：C
5．下列不等式中正确的是( )
解析：a＜0，则a＋4a≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a²＋b²＜4ab，故B错；a＝4，b＝16，则ab＜a＋b²，故C错；由基本不等式可知D项正确．答案：D
6．已知a＞b＞c，则a－bb－c与a－c²的大小关系是________．
解析：因为a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0.所以a－bb－c≤a－b＋b－c²＝a－c²。当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号．答案：a－bb－c≤a－c²
7．当x＞1/2时，函数y＝x＋8/(2x－1)的最小值为________．
解析：设t＝2x－1，∵x＞1/2，∴2x－1＞0，即t＞0，∴y＝t＋1²＋8/t＋1²≥2√t·8t＋1²＝9².当且仅当t²＝8t，即t＝4，x＝5/2时，取等号．答案：9²
8．若x，y均为正实数，且x＋4y＝1，则x·y的最大值为________．
解析：1＝x＋4y≥2√xy＝4xy，3∴xy≤1/6，当且仅当x＝4y时等号成立．答案：1/6
9．已知不等式ax²－3x＋2＜0的解集为A＝{x|1＜x＜b}．(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)＝(2a＋b)x＋25|b－a|x＋a(x∈A)的最小值．
解析：(1)由题意知，1，b是方程ax²－3x＋2＝0的两根，且b＞1，∴Error!解得...(2)由(1)得f(x)＝(2×1＋2)x＋25|2－1|x＋1＝4x＋25x＋1＝4(x＋1)＋25x＋1－4≥24|x＋1|·25x＋1－4＝16.当且仅当4(x＋1)＝25x＋1，即x＝3/2∈A时等号成立．∴函数f(x)的最小值为16.
10．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．(1)写出4辆车运营的总利润y（万元）与运营年数x（x∈N*）的函数关系式；(2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？
解析：(1)依题意，每辆车x年总收入为100x万元，总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x)＝200＋12x(x＋1)·16（万元）．∴y＝4[100x－200－12x(x＋1)·16]＝16(－2x²＋23x－50)．
(2)年平均利润为y/x＝16(23－2x－50/x)＝16[23－2(x＋25/x)]．又x∈N*，∴x＋25/x≥2x·25/x＝10，当且仅当x＝5时，等号成立，4此时y/x≤16×(23－20)＝48．∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元．
