【基本不等式】在高中数学中，基本不等式是指算术平均数与几何平均数之间的关系，通常表示为\( \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \)，其中\( a \)和\( b \)是非负实数。这个不等式表明，两个非负数的算术平均数总是大于等于它们的几何平均数，当且仅当\( a=b \)时，两者相等。
1. 第一题考察了基本不等式的应用，通过反例说明了不等式\( \sqrt{ab} \geq \frac{a+b}{2} \)并不总是成立的，因为当\( a \)和\( b \)不相等时，可能存在反例使得等号不成立。
2. 第二题中，利用基本不等式可以得到\( \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \)，两边同时平方后加上2，可以得到\( \frac{(a+b)^2}{4} + 2 \geq ab + 2 \)，进一步推导得出了最小值为4的情况。
3. 第三题涉及到了柯西不等式，\( (x+2y)^2 \leq (x^2 + (2y)^2)(1^2 + 1^2) \)，从而得到\( (x+2y) \leq \sqrt{2(x^2 + 4y^2)} \)，由此确定了\( m \)的取值范围。
4. 第四题利用了平方和的性质，由于\( a \)和\( b \)的和为2，平方和可以写成\( a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 4 - 2ab \)，因此\( a^2 + b^2 \)最小值为2，当且仅当\( a=b \)时成立。
5. 第五题中，工厂增长率的问题可以转化为不等式问题，利用算术平均数与几何平均数的关系求解两年平均增长率的最大值。
6. 第六题通过基本不等式可以推导出\( 3a+3b \geq 2\sqrt{3a \cdot 3b} = 6\sqrt{ab} \)，由于\( a+b=2 \)，则\( ab \leq (\frac{a+b}{2})^2 = 1 \)，所以\( 3a+3b \)的最小值为6。
7. 第七题涉及到不等式的应用，通过变换表达式，将条件转换为\( \frac{x}{3}+\frac{2y}{3}+\frac{3z}{3}=1 \)，然后利用均值不等式求解最小值。
8. 第八题中，利用点A在直线上，得出\( 2m+n=1 \)，再结合不等式求解\( \frac{1}{m}+\frac{4}{n} \)的最小值。
9. 第九题通过柯西不等式\( (x^2+y^2)(a^2+b^2) \geq (ax+by)^2 \)，求解\( xy \)的最大值。
10. 第十题是实际应用问题，涉及到矩形面积的优化，利用二次函数的最值求解矩形AMPN面积的最小值。
11. 第十一题是围墙成本优化问题，通过建立函数模型，利用基本不等式找到最小成本。
12. 第十二题中，函数\( f(x) \)的最大值可以通过基本不等式求解，同时证明了对于任意实数\( a \)和\( b \)，不等式\( f(a)<b^2-3b+ \)总是成立。
这些题目都围绕着基本不等式及其应用展开，涉及到不等式的性质、最值问题以及实际问题中的应用。通过这些习题，学生可以深入理解基本不等式的内涵和使用方法，提高解决相关问题的能力。
