【知识点详解】
高中数学第三章不等式3.4中主要涉及的是基本不等式，这是高中数学中的重要概念，通常用于比较实数的大小和解决优化问题。基本不等式表述为：对于任意实数a和b，都有ab≤(a+b)/2，并且只有在a=b时等号成立。这个不等式可以看作是正数a和b算术平均数与几何平均数之间关系的体现。
1. **重要不等式**：a² + b² ≥ 2ab，当且仅当a=b时，等号成立。这个不等式是平方和与乘积之间的不等式，反映了平方和的非负性。
2. **基本不等式**：
- **算术平均数**：对于正数a和b，它们的算术平均数定义为(a+b)/2。
- **几何平均数**：同样对于正数a和b，它们的几何平均数定义为√(ab)。
- **不等式形式**：ab≤(a+b)/2，当且仅当a=b时，等号成立。
- **变形应用**：通过基本不等式可以推导出其他形式的不等式，如ab≤[(a+b)/2]²，a+b≥2√(ab)，其中a>0，b>0，等号成立的条件依然是a=b。
3. **思考辨析**：
- **替换不等式**：若a>0，b>0，将a和b代入a² + b² ≥ 2ab，会得到a + b ≥ 2√(ab)。
- **条件比较**：a² + b² ≥ 2ab对所有实数a和b都成立，而ab≤(a+b)/2只对正实数a和b成立。
- **等价性检验**：a + b/2 ≥ √(ab)与[(a+b)/2]² ≥ ab并不等价，前者要求a>0，b>0，后者对所有实数a和b都成立。
4. **小试身手**：
- 选择题1：a+1/a≥2，正确选项C（a² + 1/a² ≥ 2），前提条件是a>0。
- 选择题2：对于0<a<b且a+b=1的情况，a² + b²最大，因为利用基本不等式ab≤(a+b)²/4=1/4。
- 选择题3：恒成立的不等式是① a² + 1 > a；② [(a+1)/a][(b+1)/b] ≥ 4；③ (a+b)^(1/a+1/b) ≥ 4。
5. **例题分析**：
- **例1**：
- (1) m = a + 1/a - 2 (a>2)，利用基本不等式可以得出m ≥ 4，而n = 2^(2-b²) < 2，所以m > n。
- (2) P, Q, R的大小关系是P<Q<R，因为Q是a和b的算术平均数的平方根，大于两数的乘积P；R是a和b的调和平均数，大于对数乘积Q。
6. **方法总结**：
- 比较大小时，需注意基本不等式的适用条件a>0，b>0。
- 利用基本不等式时，需要观察问题的结构，结合不等式的性质进行推理。
通过以上知识点的梳理，我们可以看到基本不等式是高中数学中解决问题的关键工具，它不仅涉及到实数比较，还与优化问题紧密相关。掌握基本不等式及其变形，能够帮助我们解决许多复杂的数学问题。
