在高中数学中，平面向量是几何和代数相结合的重要概念，它在解决几何问题时起着关键作用。本节主要讨论的是平面向量的基本定理及其坐标表示，这些都是高考数学复习的重要知识点。
平面向量基本定理指出，任何两个不共线的向量（即非零向量且不平行）可以作为平面内所有向量的一组基底，也就是说，平面内的任意向量都可以唯一地表示为这两个基底向量的线性组合。例如，题目中的向量 α 和 β 如果不共线，那么它们就能构成一组基底，向量 γ 就可以表示为 γ = xα + yβ，其中 x 和 y 是实数。
坐标表示是向量的一种便捷描述方式，尤其是在直角坐标系中。如果给定向量的起点和终点坐标，那么向量的坐标就是终点坐标减去起点坐标。例如，向量 AD = (2, 8) - (0, 0) = (2, 8)。同理，向量 AB 可以通过其终点和起点坐标计算得出。
题目的第一题考察了向量加法，通过平行四边形法则可知，向量 AC 等于向量 AB 加上向量 AD，因此解出 AC 的坐标即可。第二题则是考查基底的概念，只有当向量组中的向量不共线时，才能构成一组基底。第三题涉及到了向量线性组合的性质，通过 BP = 2PA，可以找到 x 和 y 的值。第四题是向量在不同基底下的坐标转换，需要利用向量相等的条件解出新基底下的坐标。
第五题和第六题进一步深入到向量线性组合的应用，第五题中利用向量的加法和比例关系，找到 AF 表达式，并求解向量的最小值。第六题要求 λ 和 μ 的和，这同样涉及向量的线性表示和解方程。
第七题通过向量的模和夹角信息，利用向量的分解公式求解 m 和 n 的值，这里需要用到三角函数的知识。第八题是判断向量加法后终点的位置，需要对向量的图形有直观理解。第九题和第十题是实际应用问题，通过建立坐标系，利用向量的坐标表示来求解点的坐标或者向量的关系。
平面向量的基本定理和坐标表示是高中数学中重要的部分，它们在处理几何问题时提供了代数工具，使得问题的解决更为简便。这些题目覆盖了向量的基本运算、向量的基底表示以及向量在坐标系中的应用，对考生的理论理解和计算能力都有较高要求。通过这些练习，考生可以深化对向量的理解，并提高解决问题的能力。
