析】等比数列前三项设为a, ar, ar^2,其积为a * ar * ar^2 = a^3r^3 = 2。同理,最后三项设为ar^(n-3), ar^(n-2), ar^(n-1),其积为ar^(n-3) * ar^(n-2) * ar^(n-1) = a^3r^(3n-6) = 4。所有项的积为a^1^n * r^(1+2+...+(n-1)) = 64。
由前三项积可得:
a^3 * r^3 = 2
由后三项积可得:
a^3 * r^(3n-6) = 4
由所有项的积可得:
a^1^n * r^(1+2+...+(n-1)) = a^n * r^(n(n-1)/2) = 64
首先解第一个和第二个方程:
a^3 * r^3 = 2 (1)
a^3 * r^(3n-6) = 4 (2)
(2)除以(1)得到:
r^(3n-9) = 2
取对数,有:
3n - 9 = log2(r) (3)
再解第三个方程:
a^n * r^(n(n-1)/2) = 64
由于前三项积为2,我们有a * ar * ar^2 = 2,即a^3 * r^3 = 2,所以a = √(2/r^2)。将a代入第三个方程:
(2/r^2)^(n/3) * r^(n(n-1)/2) = 64
化简得:
(2/r^2)^(n/3) * r^(n^2/2-n/2) = 64
进一步化简:
2^(n/3) * r^(-n/6) * r^(n^2/2-n/2) = 64
结合r^(3n-9) = 2,可以得出:
2^(n/3) * r^((3n-9)/6) * r^(n^2/2-n/2) = 64
因为r^(3n-9) = 2,所以r^(3n-9)/2 = 1,代入上式:
2^(n/3) * 1 * r^(n^2/2-n/2) = 64
化简得:
2^(n/3) * r^(n^2/2-n/2) = 64
因此:
2^(n/3) = 64^(1/3) (4)
r^(n^2/2-n/2) = 1 (5)
由(4)得:
n/3 = log2(64^(1/3)) = log2(4) = 2
所以n = 6。
由(5)得:
r^(n^2/2-n/2) = r^(18/2 - 3) = r^6 = 1
因为r不为0,所以r^6 = 1意味着r = ±1。
现在我们可以计算项数。由于前三项积为正,r^3也是正的,所以r = 1。如果r = -1,那么奇数项会与偶数项交替符号,这会导致最后三项积为负,与题目条件不符。所以r = 1。
现在我们有n = 6,r = 1,可以解出a:
a = √(2/r^2) = √2
数列的通项公式为an = a * r^(n-1) = √2 * 1^(n-1) = √2
因此,该等比数列的第六项为a6 = √2,但题目要求所有项的积为64,这意味着n必须大于6。考虑到r=1,所有项的积为a^n = (√2)^n,所以n = log_(√2)(64) = 3 * log2(64) = 3 * 6 = 18。
该等比数列有18项。
【答案】B. 12 项