2021_2022学年新教材高中数学第5章导数及其应用5.3.2极大值与极小值课时素养评价含解析苏教版选择性必修第一册

高中数学中的导数是研究函数性质的重要工具，它在寻找函数的极大值和极小值问题中起到关键作用。在第5章“导数及其应用”5.3.2部分，我们关注的是如何利用导数来确定函数的极值点。 1. 极值点的确定：函数的极值点并不一定是导数值为0的点，这是导数概念的一个常见误解。实际上，如果一个函数在某点c处连续且可导，f'(c)=0是函数可能取得极值的必要条件，但不是充分条件。要判断c是否为极值点，还需要进一步分析f''(c)的符号，或者通过函数在c附近的行为来确定。 2. 导数与极值的关系：根据导数的性质，如果函数f在某个区间内有极值，那么在这个区间内函数的导数必须改变符号。例如，如果f'(x)在x=a处从正变负，那么a可能是极大值点；如果f'(x)在x=b处从负变正，b可能是极小值点。图象分析也是判断极值的有效方法。 3. 极值比较：极大值并不总是大于极小值，这取决于函数的具体形态。函数可能只有一个极大值或极小值，也可能有多个。 4. 导数的二次判定法：对于三次多项式函数，如f(x) = 2x^3 + ax^2 + 36x - 24，可以使用导数的二次形式f'(x) = 6x^2 + 2ax + 36来找到极值点。如果f'(x) = 0，解这个二次方程可以得到可能的极值点，然后通过判断这些点附近的导数符号来确认极值。 5. 求解极值问题的步骤：首先求导，然后找到导数为0的点，接着判断这些点是否能成为极值点，最后确定极大值和极小值的具体数值。 在给定的题目中，例如第5题，通过解方程f'(1) = 0找到a和b的值，然后利用导数的符号变化来确定函数的单调区间，从而找到极值点。 总结来说，本节内容主要涉及了导数的应用，包括如何通过导数判断函数的极值点，理解极值点与导数之间的关系，以及如何通过解导数方程和分析导数的符号来确定函数的极大值和极小值。这些知识对于解决实际问题和进行数学建模至关重要，是高中数学中深入理解函数性质的基础。