这篇资料主要涉及高中数学中的幂函数知识，特别是针对北师大版必修1课程的学生进行的课时分层作业。以下是根据题目内容整理出的相关知识点：
1. **幂函数定义与性质**：
幂函数是指形如 \( f(x) = x^{\alpha} \) 的函数，其中 \( \alpha \) 是常数。题目中提到了幂函数 \( f(x) \) 的图像过点 (2, m)，可以通过这个条件求解 \( \alpha \) 和 \( m \) 的值。
2. **幂函数的图像和性质分析**：
- 幂函数的图像通常通过 \( y=x^{\alpha} \) 在坐标轴上的位置来判断其性质，例如奇函数、偶函数、单调性等。
- 若幂指数 \( \alpha \) 为正，函数在第一和第四象限有定义；若 \( \alpha \) 为负，函数在第二和第三象限有定义。
- 当 \( \alpha > 0 \) 时，幂函数在 \( x \) 轴右侧（\( x > 0 \)）是增函数，而 \( \alpha < 0 \) 时，函数在 \( x \) 轴右侧是减函数。
3. **奇函数与偶函数**：
- 奇函数满足 \( f(-x) = -f(x) \)，图像关于原点对称。
- 偶函数满足 \( f(-x) = f(x) \)，图像关于 \( y \) 轴对称。
- 函数的奇偶性会影响其在定义域内的单调性，例如题目中提到的函数 \( f(x) = x^2 + x \) 在 \( [0, +\infty) \) 上不是奇函数，因此不是偶函数。
4. **函数单调性的判断**：
- 对于增函数，若 \( x_1 < x_2 \)，则有 \( f(x_1) < f(x_2) \)。
- 对于减函数，若 \( x_1 < x_2 \)，则有 \( f(x_1) > f(x_2) \)。
- 题目中通过比较 \( f(π) \)，\( f(－3) \)，\( f(－2) \) 的大小关系，判断了函数在区间上的单调性。
5. **解不等式问题**：
- 不等式 \( xf(x) < 0 \) 的解可以通过分析 \( f(x) \) 在不同区间的符号变化来求解，结合函数的奇偶性和单调性。
6. **幂函数方程求解**：
- 若幂函数 \( y = f(x) = x^{\alpha} \) 经过点 (m, n)，可以得到方程 \( m^{\alpha} = n \)，从而求解 \( \alpha \) 或 \( m \) 的值。
7. **复合函数的奇偶性**：
- 如果 \( f(x) \) 是奇函数，\( g(x) \) 是偶函数，那么 \( f(g(x)) \) 可能具有新的奇偶性。
- 在题目中，利用 \( f(x) + x^2 \) 是奇函数，可以推断 \( f(x) \) 的性质。
8. **函数的单调性和奇偶性的结合**：
- 若奇函数 \( f(x) \) 同时是减函数，那么 \( f(a) + f(b) > 0 \) 可以转化为 \( a \) 和 \( b \) 的大小关系。
9. **幂函数单调性的证明**：
- 利用定义法证明幂函数的单调性，通常采用作差法比较 \( f(x_1) \) 和 \( f(x_2) \) 的大小，然后判断 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 的关系。
10. **函数图像和单调区间**：
- 奇函数的图像关于原点对称，且其单调性在对称区间内保持一致。
- 通过分析函数 \( f(x) \) 的表达式，可以确定其单调区间，题目中要求 \( f(x) \) 在特定区间上单调递增，由此可以确定变量 \( a \) 的取值范围。
11. **不等式解法**：
- 解不等式 \( f(2x - 1) < f(1/3) \)，需要考虑函数的单调性以及定义域，找到满足条件的 \( x \) 的值。
通过以上分析，我们可以看到，这份作业涵盖了幂函数的基本概念、性质、奇偶性、单调性以及不等式解法等多个方面的高中数学知识。这些内容对于理解幂函数和进一步学习其他高级数学概念至关重要。
