2020_2021学年高中数学课时分层作业3等差数列的概念及其通项公式北师大版必修5

等差数列是高中数学中的一个重要概念，它在数列理论和实际问题中都有广泛的应用。等差数列指的是一个数列，其中任意相邻两项之间的差是一个常数，这个常数被称为公差。等差数列的基本性质包括通项公式、前n项和公式以及等差中项等。 等差数列的通项公式是 \( a_n = a_1 + (n-1)d \)，其中 \( a_1 \) 是首项，\( d \) 是公差，\( n \) 是项数。例如，题目中的第1题中，数列 \( a_n = 2n + 5 \) 就是一个公差为2的等差数列，因为每一项与前一项的差恒为2。 第2题考察了等差数列的定义，只有当数列相邻项的差不恒定时，该数列才不是等差数列，因此选项B符合这一条件。 在第3题中，通过等差数列的性质可以找到首项 \( a_1 \)。已知 \( a_2 = -5 \) 和 \( a_6 = a_4 + 6 \)，可以推导出公差 \( d = 3 \)，从而求得 \( a_1 = a_2 - d = -8 \)。 第4题利用等差数列的性质，若 \( a_m + a_n = 2a_{\frac{m+n}{2}} \)，可以得出 \( 3a_5 + a_7 = 2a_6 = 20 \)。 第5题涉及到了嵌套等差数列，若 \( \{11 + a_n\} \) 是等差数列，可以先计算出其公差，然后利用 \( a_n \) 的通项公式求解 \( a_{11} \)。 填空题部分进一步巩固了等差数列的性质。例如，第6题通过等式 \( a_7 - 2a_4 = -1 \) 求出公差 \( d \)；第7题利用等差数列中项的性质比较两个等差数列的差；第8题通过等式 \( a_3 + a_9 = a_{10} - a_8 \) 求出 \( n \) 的值。 解答题部分则涉及了等差数列的证明和实际应用。第9题通过验证 \( a_{n+1} - a_n \) 是否恒定来证明数列 \( \{a_n\} \) 是等差数列；第10题将气温变化转化为等差数列问题，通过求解公差 \( d \) 来确定不同高度的气温。 两道附加题目同样涉及等差数列的计算。第1题利用递推关系或等差数列的性质求 \( a_4 \)；第2题是一个历史背景下的等差数列问题，通过等差数列的前几项和末几项求未到达的三人应得的黄金总量。 等差数列在高中数学中占据重要地位，不仅涉及到基础的定义和性质，还包括通项公式的应用、等差数列的证明以及与实际问题的结合。理解和掌握这些知识点对于解决相关问题至关重要。