2019_2020学年新教材高中数学课后作业11基本不等式新人教A版必修第一册

【知识点详解】 1. 基本不等式：题目涉及的基本不等式是指在实数范围内，对于非负实数a和b，有 \( a^2 + b^2 \geq 2ab \)（当且仅当a=b时等号成立），这是数学中的一个基础不等式，也称为算术平均-几何平均不等式。 2. 充分条件与必要条件：在第四题中，讨论了"a+b≤4"是"ab≤4"的充分不必要条件，这意味着"a+b≤4"能够确保"ab≤4"成立，但反之不成立。充分条件是使得结论必然成立的条件，而必要条件是结论成立所必需的条件。 3. 不等式的解法：题目中通过比较不同表达式的大小来解决问题，如第五题通过比较 \( \frac{1}{x+y} \)，\( \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}) \)，\( \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}} \) 和 \( \frac{1}{2xy} \) 的大小，展示了如何利用不等式的性质和代数技巧来确定最小值。 4. 平均数不等式：在第十题的证明中，使用了算术平均数和调和平均数的关系，\( (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b}) = 1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab} \)，这相当于计算了两数的调和平均数与算术平均数的乘积，利用不等式 \( \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \)（当且仅当a=b时等号成立）可以证明其大于等于9。 5. 二次函数与不等式：例如第六题中 \( \sqrt{(a-b)^2} \leq \frac{a-c}{2} \)，这涉及到平方根的性质和不等式的比较，通过展开和变形可以得出结论。 6. 指数不等式与恒等式：第七题中的 \( x^2 + 2 \geq \frac{2}{x^2+1} \)，这是一个恒等式，它利用了平方项的非负性，可以通过移项和通分进行证明。 7. 条件等号成立的判断：在第8题中，给出了多个关于a，b的不等式，并要求找出在a+b=2的条件下恒成立的不等式，通过举例和应用不等式原理可以确定正确选项。 8. 不等式的放缩法：在第九题的证明中，通过分别对 \( \frac{b}{a} \)，\( \frac{c}{b} \)，\( \frac{a}{c} \) 应用AM-GM不等式，将它们的和放大到2倍，然后累加，证明了 \( \frac{b}{a} + \frac{a}{c} + \frac{c}{b} \geq a + b + c \)。 9. 求解最大值或最小值：在第11题中，探讨了 \( a+\frac{b}{a} \)，\( \frac{a^2+b^2}{2} \)，\( \sqrt{ab} \) 之间的关系，这通常涉及到函数的最值问题，可以使用导数法或者不等式方法求解。 以上内容涵盖了高中数学中基本不等式、充分必要条件、不等式解法、平均数不等式、二次函数与不等式、指数不等式、条件等号成立的判断、不等式的放缩法以及求解最值等多个知识点，这些都是高中数学学习的重要组成部分。