【函数导数与极值最值】在高中数学中，函数导数是研究函数性质的重要工具，特别是用于探讨函数的极值（极大值和极小值）和最值（最大值和最小值）。导数代表了函数在某一点处的瞬时变化率，通过分析导数的正负，我们可以判断函数的增减性，从而找到函数的极值点。
1. 导数的正负判断：如果导数大于0，函数在该点的邻域内是增函数；如果导数小于0，函数是减函数。导数等于0的点可能是极值点，但不一定是。
2. 极值点的确定：函数在极大值点或极小值点处的导数为0。例如，题目中的第一题，通过计算导数f'(x)=(x+1)e^x，我们可以发现x=-1是导数为0的点，进一步分析导数的符号变化，确定x=-1为极小值点。
3. 最值的求解：函数在定义域内的端点或者导数为0的点上可能取得最值。第二题中，通过求导f'(x)=2x-，在x=1处取得极小值，也就是最小值。
4. 利用导数求解不等式：第四题中，将问题转化为求函数的最值，通过求导和分析单调性找到函数的最小值，从而确定a的最小值。
5. 函数极值的计算：第五题中，根据函数在某点的极值条件及导数与切线斜率的关系，可以求出极值点及极值的差。
6. 直线与函数图像交点：第六题，直线y=a与函数图像有三个相异公共点，意味着函数的极大值和极小值之间a必须落入某个区间。
7. 利润最大化的优化问题：第七题，总利润是产品单价与生产量的乘积减去总成本，通过求导找到产量的最大值点，从而确定最大利润的生产量。
8. 极值点与参数的关系：第八题中，x=1为极大值点，通过导数等于0及极值点的性质，可以求解出参数a的取值范围。
9. 导数与切线的关系：第九题，切线平行于x轴意味着切线斜率为0，即导数在该点的值为0，由此可以解出a的值。对于函数的极值，需要分情况讨论a的值，判断导数的符号变化，找到极值点。
总结来说，导数在函数极值与最值的研究中起到关键作用，通过导数可以判断函数的增减趋势，进而确定极值点，并求解最值问题。在实际应用中，如优化问题、经济模型等，这些方法都有广泛的应用。
