《利用导数研究函数的极值与最值》
在新课改地区2021版高考数学一轮复习中，第三章的导数及其应用是一个关键部分，特别是3.3章节，主要探讨如何利用导数来研究函数的极值与最值。这部分内容对学生的数学分析能力和实际应用技巧提出了较高的要求。
导数是微积分的基础工具，它能够揭示函数的变化率，进而帮助我们找到函数的拐点，也就是函数的极值点。极值分为极大值和极小值，它们是函数在某一区间内达到的最大或最小值。在解决这类问题时，通常遵循以下步骤：
1. **确定函数的定义域**：这是分析函数性质的第一步，因为极值只能出现在函数定义域内。
2. **求导数**：通过计算函数的导数f'(x)，我们可以了解函数在各点的瞬时变化情况。
3. **解导数为零的方程**：找出使得f'(x)=0的所有x值，这些值可能是潜在的极值点。
4. **列表检验**：列出导数的符号变化表，以确定在这些点两侧导数的正负，从而确认是否为极值点。
5. **验证**：导数为零的点不一定是极值点，需要进一步检查其左右导数的符号变化，以确认极值的存在。
在解决函数极值问题时，常与函数图象、方程、不等式和单调性等知识相结合，考察学生的综合能力。近年来的趋势是将函数极值、导数的几何意义及函数图象等多方面知识融合在一起进行考查。
例如，一个三次函数f(x)=ax³+bx²+cx+d，如果其图象显示x=-1和x=2是极值点，那么可以通过导数f'(x)=3ax²+2bx+c=0的根与系数关系来确定a、b、c之间的关系，并进一步求出极值的具体值。
在具体题目中，如求函数f(x)=x-1+(a∈R, e为自然对数的底数)的极值，我们需要：
1. **求导数**：f'(x)=1-。
2. **分析导数**：当a≤0时，f'(x)>0，函数单调递增；当a>0时，存在一个极小值点x=ln a。
3. **求解极值**：极小值f(ln a)=ln a。
对于函数y=x+alnx在区间上有极值点的情况，需要求解导数y'=1+的零点，这涉及到a的取值范围问题，需要根据导数的正负变化确定a的可能范围。
此外，当题目给出函数极值情况并要求求参数值或范围时，通常需要转化为解方程或寻找函数零点的问题。
利用导数研究函数的极值和最值是高中数学中的重要知识点，它涉及到函数性质、导数的应用、方程的求解以及数学思维的综合运用。学生需要熟练掌握求解步骤，灵活运用数学思想，才能在考试中应对自如。
