【知识点详解】
1. **等差数列的前n项和公式**：等差数列的前n项和可以用公式 `Sn = n/2 * (2*a1 + (n-1)*d)` 来表示，其中`Sn`是前n项和，`a1`是首项，`d`是公差，`n`是项数。当公差为正时，和随着项数的增加而单调递增；当公差为负时，和随着项数的增加而单调递减。
2. **等差数列前n项和的最值**：
- 当首项`a1`大于零，公差`d`小于零时，`Sn`有**最大**值，这个最大值发生在`an`等于0的项数`n`上，可以通过不等式组`an >= 0`和`an+1 <= 0`来确定。
- 当首项`a1`小于零，公差`d`大于零时，`Sn`有**最小**值，这个最小值发生在`an`等于0的项数`n`上，可以通过不等式组`an <= 0`和`an+1 >= 0`来确定。
- 如果`d`不为零，`Sn`可以视为关于`n`的二次函数。当`d`大于零时，`Sn`有一个**最小**值；当`d`小于零时，`Sn`有一个**最大**值。最值出现在离对称轴最近的自然数`n`处。
3. **裂项相消求和**：这是一种求和技巧，通过将数列的通项拆分为两项之差，使得求和过程中一些项互相抵消。常见的裂项形式包括：
- `1/n(n+k)`可以裂项为`1/k - 1/(n+k)`
- `1/n + 1/(n+k)`可以裂项为`1/k(1/(n-k) - 1/(n+k))`
- `1/(2n-1)(2n+1)`可以裂项为`1/2(1/(2n-1) - 1/(2n+1))`
4. **裂项相消求和的应用**：
- 示例1：`1/3*5 + 1/5*7 + ... + 1/13*15`可以裂项并相互抵消，最终求得`2/15`的和。
- 示例2：数列`an = 1/n + (n+1)`的前n项和`Sn`为9，通过裂项求和，可以得到`n=99`。
5. **等差数列前n项和的最值应用**：
- 【例1】在等差数列`{an}`中，`S3 = S11`，且`a1 > 0`，可以求得当`Sn`取得最大值时，`n = 7`。这可以通过函数法或者通项变号法求解。
- 探究1：如果数列`{an}`的通项公式改为`an = 26 - 2n`，当`n = 12`或`13`时，`Sn`取得最大值。
- 探究2：如果`7a5 + 5a9 = 0`且`a9 > a5`，公差`d`为正，通过解不等式可以找到`Sn`取最小值时的`n`。
以上是对等差数列前n项和及其应用的详细阐述，涵盖了等差数列的求和公式、最值情况、裂项相消法以及在实际问题中的应用。掌握这些知识点对于解决与等差数列相关的数学问题至关重要。
