在高中数学中，等差数列是一个重要的概念，特别是在数列的第二章中，学习如何求解等差数列的前n项和是基础而关键的内容。等差数列是这样一种数列，其中任意相邻两项之间的差是一个常数，这个常数被称为公差。
在等差数列的前n项和问题中，一个基本公式是：
\[ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \]
这里，\( S_n \) 表示数列的前n项和，\( a_1 \) 是首项，\( a_n \) 是第n项。此外，还有另一个公式，用于计算和：
\[ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] \]
这里，\( d \) 是公差。
在给定的问题中，我们可以看到一系列的练习题，它们考察了等差数列前n项和的基本应用：
1. 通过递推关系 \( 2a_{n+1} = 1 + 2a_n \)，我们推导出 \( a_{n+1} - a_n = \frac{1}{2} \)，这表明数列是以 \(-2\) 为首项，\(\frac{1}{2}\) 为公差的等差数列。然后，我们可以计算第10项的值并求和。
2. 提供了一组等差数列的和，通过等差数列的性质，我们知道 \( a_1 + a_2 \), \( a_3 + a_4 \), \( a_5 + a_6 \), \( a_7 + a_8 \) 构成一个新的等差数列，利用这个性质求出 \( a_7 + a_8 \)。
3. 如果 \( a_2 + a_3 + a_4 = 3 \)，则根据等差数列的性质，\( a_3 \) 是中间项，因此 \( 3a_3 = 3 \)，可以求得 \( a_3 \) 并进一步求 \( S_5 \)。
4. 在等差数列中，前9项的和是18，第9项是第1项和第n项的平均，因此可以求出第9项，再利用 \( S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \) 求出 \( n \) 的值。
5. 给定 \( a_1 + a_2 + a_3 = 15 \) 和 \( a_1 a_2 a_3 = 80 \)，通过解方程可以找出 \( a_2 \)，进而找到公差 \( d \)，然后计算 \( a_{21} + a_{22} + a_{23} \)。
6. 由 \( a_2 = 1 \) 和 \( a_3 = 3 \) 可以求出公差 \( d \)，然后用 \( S_4 = \frac{4}{2}(a_1 + a_4) \) 求解。
7. 当等差数列的前n项和 \( S_m \), \( S_{m+1} \), \( S_{m+2} \) 已知时，可以通过等差数列的性质求出 \( m \)。
8. 李强跑步的例子展示了等差数列在实际生活中的应用，每天增加的距离构成了一个等差数列，求其前10项和。
9. 利用 \( \log_2(S_n+1) = n+1 \)，可以得到 \( S_n \) 的表达式，进一步求出 \( a_n \)。
10. 在给定 \( a_5 = 15 \) 和 \( a_{10} = 25 \) 的条件下，可以求出首项 \( a_1 \) 和公差 \( d \)，进而得到 \( a_n \) 和 \( S_n \)。
这些练习题共同展示了如何运用等差数列的性质来解决实际问题，包括如何找到等差数列的首项、公差、第n项，以及如何计算前n项和。熟练掌握这些技能对于理解和应用等差数列至关重要。
