2019_2020学年高中数学第二章平面向量7向量应用举例练习含解析北师大版必修4

向量在高中数学中扮演着重要的角色，尤其在解决平面几何、解析几何和物理问题时。以下是关于平面向量的一些核心知识点： 1. **点到直线的距离公式**：点M(x0, y0)到直线Ax + By + C = 0的距离d可以通过公式计算：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A² + B²)。这个公式揭示了向量与点线关系的基础。 2. **直线的法向量**：直线的方向向量与垂直于直线的向量即法向量是直线上所有向量的共同倍数。如果直线l的方向向量是v=(B, -A)，那么其法向量n=(A, B)，并且与直线l的法向量同向的单位向量n0=|n|/||n||=(A/√(A²+B²), B/√(A²+B²))。 3. **向量在平面几何中的应用**： - 线段相等可以通过证明向量长度相等来实现。 - 线段平行和直线平行可转化为向量平行，即存在常数λ使得向量AB=λCD。 - 线段垂直可以转换为向量点积为零，即AB·CD=0。 - 与角度相关的问题，比如求解角的大小，可以转化为求解向量之间的夹角，使用余弦定理或者向量的夹角公式。 4. **向量的性质及其运算**： - 力F1和F2的合力遵循向量加法的平行四边形法则。 - 如果向量AB平行于CD，那么AB和CD代表的线段可能平行，但不一定是同一条线。 - 向量的夹角与对应直线的夹角不一定相等，因为直线的夹角可能受其他因素影响。 - 力是向量，因为它有大小和方向，同样，速度、加速度和位移的合成与分解也可以用向量运算解决。 5. **向量在解析几何中的应用**： - 直线l的方程x - ky + 1 = 0表明其法向量是(1, -k)，如果与圆x²+y²=4相交，可以通过向量的运算找到交点坐标，进一步确定点M的位置。 - 当|AB|=2时，M是AB的中点，OC=OA-OB，利用向量的线性运算和点到点的距离公式，可以求出OC·OM的值。 6. **向量在物理中的应用**： - 质点处于平衡状态意味着所有作用力的向量和为零向量。通过向量三角形法则或正交分解，可以求出第三个力F3的大小。 - 骑车时感觉到的风向变化说明风速与骑行速度有关，实际风速和方向的求解需要考虑相对速度和向量的合成。 7. **利用坐标系解决向量问题**： - 在正方形中，EC·EM的取值范围与点E的位置有关，可以建立坐标系，将向量EC和EM的坐标表达出来，然后通过点积的性质分析其范围。 - 正方形ABCD中，DE的长度随着点E在AB上的移动而变化，DE的长度可以用向量的线性组合来表示，并通过向量运算求解。 通过以上知识点的学习，学生能够更好地理解和应用向量来解决实际问题，无论是平面几何、解析几何还是物理学中的问题。这些基础知识对于进一步学习更高级的数学和物理概念至关重要。