《平面向量的数量积及应用》是高中数学复习中的重要知识点，主要涉及到向量的运算、性质以及在几何问题中的应用。以下是对这部分内容的详细解释：
1. **向量的数量积**：向量的数量积（或点积、标量积）是两个向量的一种运算，结果是一个标量。数量积的定义是`a·b = |a| * |b| * cosθ`，其中`a`和`b`是两个向量，`|a|`和`|b|`分别是它们的模（长度），θ是两向量之间的夹角。在处理数量积时，常用于求解向量的夹角和判断两向量是否垂直。
2. **向量的模**：向量的模表示向量的长度，对于一个向量a=(x, y)，其模定义为`|a| = √(x² + y²)`。在题目中，经常利用模的性质来求解问题，如题目中第四题就是通过模的平方求解向量的长度。
3. **向量的线性运算**：向量可以进行加法和数乘运算。加法遵循平行四边形法则，数乘则是将向量的长度按比例缩放。例如，λa+b表示向量a按照λ的比例缩放后再与向量b相加，如果λa+b与b垂直，则λa+b与b的数量积为0，从而可以解出λ的值。
4. **向量的夹角**：向量的夹角可以通过数量积计算得到，`cosθ = a·b / (|a| * |b|)`。例如，第五题中通过已知向量的模和投影，可以直接计算向量的点积，进而求得夹角。
5. **向量在另一向量方向上的投影**：向量a在向量b方向上的投影是`|a| * cosθ`，这里的θ是a与b的夹角。投影的长度可以帮助我们理解向量在特定方向上的分量。
6. **向量的应用**：在几何问题中，向量常用来解决力的分解、平面几何问题、解析几何问题等。例如，第九题中，通过数量积的性质求解向量的模和夹角；第十题中，利用向量的线性组合和数量积来分析几何图形的性质。
7. **填空题和解答题**：在实际的试题中，这些题目通常需要考生综合运用向量的性质和运算，例如计算向量的模、求解夹角、分析向量关系等。解答这类问题时，应先理解题意，然后根据向量的定义和性质建立方程或不等式，最终求解未知量。
平面向量的数量积及其应用是高中数学中的关键内容，对于理解和解决问题至关重要。通过练习和深入理解这些概念，学生能够更好地应对高考中的相关试题。
